Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
2. Построение общего решения уравнения струны........................ 594
3. Построение решения задачи Коши.................................... 596
4. Физическая интерпретация решения задачи Коши...................... 598
§12. Гармонические функции. Примеры. Теорема Кельвина...................... 600
§ 13. Внутренний принцип экстремума гармонических функций.
Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле................. 603
§ 14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге
методом разделения переменных. Формула Пуассона...................... 606
1. Решение задачи Дирихле в круге.................................... 606
2. Формула Пуассона.................................................. 610
§15. Свойства гармонических функций........................................ 612
§16. Задачи Неймана и Пуанкаре для уравнения Лапласа....................... 622
1. Единственность решения............................................ 622
2. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана................... 625
§ 17. Внешние граничные задачи для уравнения Лапласа....................... 626
§ 18. Решение граничных задач для уравнения Лапласа методами
потенциала и интегральных уравнений.................................. 631
1. Потенциалы объема, простого и двойного слоев...................... 631
2. Поверхности Ляпунова.............................................. 634
3. Свойства потенциала двойного слоя................................. 636
4. Свойства потенциала простого слоя................................. 640
5. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным
уравнениям........................................................... 643
§ 19. Первая начально-граничная задача для уравнения
теплопроводности..................................................... 649
1. Постановка задачи. Принцип экстремума. Единственность и устойчивость
решения....................... ...................................... 649
2. Решение задачи методом разделения переменных...................... 653
§ 20. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача Коши)............ 656
Задачи для самостоятельной работы.................................... 660
Библиографический список................................................... 668
Список некоторых обозначений............................................... 671
ПРЕДИСЛОВИЕ
В курсе элементарной математики изучаются, как правило, уравнения и системы уравнений, в которых неизвестными являются независимые переменные величины. Например, в следующих уравнениях и системах:
smxcos у =—
I 4
неизвестными являются независимые переменные х и у .
Многие задачи математики, механики, физики, биологии, химии, экономики и других наук приводятся к решению уравнений или их систем, в которых уже неизвестными являются функции от одного или нескольких независимых переменных. Такие уравнения и системы в курсе функционального анализа называются функциональными.
Функциональные уравнения условно делятся на следующие классы:
1) чисто функциональные уравнения;
2) дифференциальные уравнения (обыкновенные, в частных производных);
3) интегральные уравнения;
4) интегродифференциальные уравнения.
Объектом исследований многих современных направлений математики как раз и являются эти классы функциональных уравнений.
В данном пособии изучаются основные классы функциональных уравнений, изложение которых строится на основе знаний из математического анализа. В связи с этим первая глава пособия является вспомогательной, где для удобства читателей приведены необходимые определения и утверждения из курса математического анализа.
Во второй главе рассмотрены чисто функциональные уравнения и на их основе определены и изучены свойства основных элементарных функций, а также приведены другие уравнения, решения которых строятся в явном виде.
Третья глава посвящена методам интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Доказаны теоремы существования и единственности решения начальной задачи для различных классов уравнений и рассмотрены зависимости решения этой задачи от начальных условий, правой части и параметров. Определены специальные функции Бесселя и Гаусса как решения дифференциальных уравнений и установлены их свойства. Изучены качественные свойства решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка и краевые задачи для таких уравнений. Рассмотрены элементы качественной теории дифференциальных уравнений (устойчивость решения,
2х3 - Зх2 + 6х + 4 = 0; 22х+2 +3-2* -1 = 0, ;
tg2x + 3ctgx = 0;
lg 0 + l)-lg (l-*) = lg (2x + 3) ;
особые точки, автономные системы). Приведены задачи из разных областей знаний, которые решаются с применением дифференциальных уравнений.
