Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
расходимость Jg(x)dx.
D
Определение 2. Несобственный интеграл (8) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
J \f(*)\dx.
D
Теорема 4. Если несобственный интеграл (8) сходится абсолютно, то он сходится. Верно и обратное утверждение.
Оказывается в случае несобственных п - кратных интегралов при п>2 понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны.
Отметим особо, что для несобственных интегралов функций одной переменной из обычной сходимости не следует абсолютная сходимость. Так,
+ fSinx, +? sinx
например, интеграл J------ах сходится, а интеграл I ------
О X о X
Это связано с разным подходом определения несобственного интеграла функций одного и многих переменных.
Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходимость
используют эталонные функции, одной из которых является га.
Теорема 5 (частный признак сравнения). 1) Если функция /(х) интегрируема в обычном смысле в любой измеримой подобласти ограниченной области D, не содержащей особую точку х0 е D, и удовлетворяет оценке
С С с
dx расходится.
\х-х,г [^-хгу>’+...+(!,-*г)’гп
где С = const > О, xQ = (xl°\xf\...,x(n0)), то несобственный интеграл (8) при а <п сходится абсолютно.
Если функция /(х) удовлетворяет оценке f(x)>C/ra, a >п, то несобственный интеграл (8) расходится.
2) Если функция /(х) интегрируема в обычном смысле в любой измеримой подобласти неограниченной области D и справедлива оценка
i/wi*-?.
где х0 - любая фиксированная точка D, то несобственный интеграл (8)
сходится абсолютно при a > п . Если справедлива оценка /(х) > С/гй , то
интеграл (8) расходится при а <п.
§ 20. Криволинейные интегралы
1. Криволинейные интегралы первого рода. Пусть L - гладкая кривая в пространстве R3, заданная векторным уравнением (см. § 12)
г = r(t), a<t<b, (1)
где вектор-функция r{t) непрерывно дифференцируема на [a,b] и r'(t)^0 на [а,Ь]. В каждой точке M{t) гладкой кривой L существует касательная.
Гладкую кривую L можно задать и тремя скалярными уравнениями:
х = x{t), у = y{t), z = z(t), a<t<b,
где функции x(Y), y(t), z(t) e Cx[a,b] и при любом t е.[а,Ь\:
x'2(t) + y'2(t) + z'2(t)>0.
В § 12 было отмечено, что уравнение
р = р(т), а<т<Р, (2)
определяет ту же самую гладкую кривую, что уравнение (1), если оно получено из него при помощи так называемой допустимой замены параметра t = ср{т). Допустимой называется такая замена параметра t = ср(т), где функция ср строго монотонная и непрерывная на \а,Р\, отображающая этот сегмент на [а, Ь] и г((р(т)) = р(т), а < т < /? . Если функция <р{т) е С\а,/3~\ и <р\т)>0 на [а,Р], то функция t = ф{т) обеспечивает эквивалентность отображений (1) и (2), т.е. является допустимой заменой параметра t.
Кривую L можно задать также натуральным уравнением г = r{t{s)) = {x(t{s)), y(t(s)), z(t(s))) = (x(s), y(s), z(s)), 0 <s<l, (3)
где t = t(s) является обратной к функции
t
s — J | г'{т) \dz, a<t<b.
a
Кривая L, на которой выбрано одно из двух возможных направлений
135
обхода, называется ориентированной. Если L - ориентированная кривая, т.е. если точка t движется по отрезку [а, Ь] от а до b , то точка г (?) перемещается
по кривой L в направлении от точки г{а) к точке г(Ь). Через L_ будем
обозначать кривую, на которой выбрано противоположное направление обхода.
Уравнение г = r(b + a-t), a<t<b, определяет кривую L_. Пусть функция
f(x,y,z) непрерывна на кривой L .
Определение 1. Если гладкая кривая L задана натуральным уравнением
(3), то определенный интеграл
i
J/№)> Я5), z(s)]ds (4)
о
называется криволинейным интегралом первого рода от функции f{x,y,z) вдоль кривой L и обозначается символом
\f(x,y,z)ds. (5)
L
Итак по определению
i
\f(x,y, z)ds = |/[ВД J(s),z(s)] fife . (6)
L О
Если функция f(x,y,z) непрерывна на кривой L и кривая L является гладкой, то криволинейный интеграл (5) всегда существует, так как функция /[x(r(5)),_v(f(5)),z(^(5))] непрерывна на сегменте [0,/], и, следовательно, она там интегрируема, т.е. существует определенный интеграл (4).
