Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
D D
3°. Площадь поверхности S обладает свойством аддитивности.
Если гладкая поверхность S задана явным уравнением z = f(x,y), (х, у) е D, то
г (х, у) = (х, у, /{х, у)), гх = (1, о, /;), гу = (о, 1, /;).
Тогда в силу (11):
Е=1+/;2, f=/; /;, g=1+/;2, eg-f2=1+/;2+/;2.
В этом случае формула (16) принимает вид
mS=^l + f’2+f'y2dxdy. (17)
D
Пример 2. Найти площадь части сферы радиуса R с центром в начале координат, находящейся в полупространстве z > 0.
Решение. Перейдем к сферическим координатам: х = Rcos<psm0,
у = Rsinpsine, z = Rcos0, Q<(p<2n, 0<^<я-/2. Тогда
г(ф, в) = (R cos ф sin в, R sin ф sin в, R cos в), г (ф, в) = (-R sin (р sin в, R cos ф sin в, 0) , гв (ф, в) = (R cos ф cos в, R sin ф cos в,-R sin в),
? = (V^) = ^2sin2 ф , F = (rf,re) = 0, G = (гв,гв) = R2,
JeG-F2 =R2 sin#,
-------- ж/2 ж/2
JfV?G-F2^6> = 4R2 \йф \ътвйв = 2жR2.
D 0 0
Пример 3. Найти площадь части параболоида z = х2 + у2, лежащей
внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
Решение. В данном случае поверхность задана явным уравнением z = f(x,y)-x2 + у2 и эта поверхность однозначно проектируется на круг
х2+у2<а2 плоскости z — 0. Тогда на основании формулы (17) вычислим площадь данной поверхности:
mS = Цд/l + f'2 + f'2dx dy = _[J-y/l + 4jc2 +4 у2dxdy =
D D
ж/2 a
= 4 jdф jVl + 4r2rdr = —[(4a2 + Y)^2 -1].
0 0 ^
При определении поверхностных интегралов нужно знать понятие
стороны, т.е. ориентацию поверхности, аналогично понятию ориентации кривой.
Определение 4. Гпадкая поверхность S называется ориентированной, если на ней можно выбрать непрерывное поле единичных векторов нормали п, заданное уравнением (6). В противном случае поверхность S называется неориентируемой.
Поверхность, на которой выбрано непрерывное поле единичных векторов нормали п, называется ориентированной.
На простой гладкой поверхности S всегда существуют только два
непрерывных поля, а именно п и - Я. В этом случае поверхность S называется двусторонней.
Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление вектора Я меняется на противоположное, то поверхность S называется односторонней (неориентируемой).
Примеры. 4. Простейший пример двусторонней поверхности - плоскость или любая часть плоскости.
5. Любая гладкая поверхность, определенная уравнением z = f(x,y) -двусторонняя. В самом деле, мы получим одну ее сторону (верхнюю по отношению к оси Oz), выбрав в каждой ее точке вектор Я так, чтобы он составлял с положительным направлением оси Oz острый угол, а другую (нижнюю) сторону - при противоположной ориентации. В этом случае направляющие косинусы единичного вектора нормали Я = (cosa,cos/?,cos;к)
149
-Л * ~fy 1
cosa - , — —, cos/У = ,... —, cos v = —r- — — .
Vi+/;2+/;2 V1+/"+/;2 ^+r:2+r;2
6. Всякая замкнутая поверхность, не имеющая линий самопересечений, например, сфера, эллипсоид и т.п., является двусторонней. Здесь легко представить две стороны: внутреннюю, обращенную к телу, ограниченному данной поверхностью, и внешнюю.
7. Простейшим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса. Эту поверхность можно получить, склеив два конца прямоугольной полоски бумаги, предварительно повернув один из них на 180° При движении по «средней линии», начиная с некоторой точки М, единичный вектор Я непрерывно поворачивается и при возврате к точке М изменит свое направление на противоположное.
2. Поверхностный интеграл первого рода
Пусть S - простая гладкая поверхность, заданная векторным уравнением г =г (и, о), (u,v)eD . Пусть на S задана непрерывная числовая функция
f(x,y,z).
Определение 5. Двойной интеграл
и), у(и, о), z(u, о)) \[ru,r0]\dudu =
D
= о), у(и, о), z(u, о))л/EG - F2 dudv (18)
D
называется поверхностным интегралом первого рода от функции /(х, у, z) по поверхности S и обозначается символом
Д/(Х y,z)dS. (19)
s
Итак, по определению
Я/(•*’У’z)dS = Jj/(х(и,о),у(и,о),z(u,v))4eG-F2 dudv .
S D
Ясно, что при допущенных выше предположениях относительно функции / и поверхности S двойной интеграл (18) всегда существует, следовательно, и существует поверхностный интеграл первого рода (19).
