Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
при любом фиксированном у е [c,d] справедлива формула
d fg2(x) ^
\\f{x,y)dxdy= \ \f(x,y)dx dy. (5)
D с ^г,(л:) у
Замечание 2. Если область D такова, что ее граница пересекается лишь в двух точках с прямыми, параллельными осям координат (рис. 14), и функция f(x,y) непрерывна в D, то равенства (4) и (5) справедливы одновременно.
Замечание 3. Если область D имеет более сложную границу, чем на рис.
12 - 14, то в этом случае область D разбивают на конечное число частей Д.
(i = 1, п , без общих внутренних точек), рассмотренных выше типов.
Рис. 13
Рис. 14
6. Замена переменных в двойном интеграле
Рассмотрим две плоскости с декартовыми координатами (х,у) и {?,т]) и на них соответственно замкнутые квадрируемые области D с границей L и G с границей Г (рис. 15). Пусть в области G заданы функции
x = x(?,tj), y = y(g,rj), (6)
такие, что, когда (?,т]) пробегает область G, соответствующая точка (х,у) пробегает область D, т.е. функции (6) определяют отображение области G на область D.
Предположим, что отображение области G на D, определяемое (6), удовлетворяет следующим условиям:
1) Отображение (6) взаимно однозначно. Это значит, что отображение (6) обратимо, т.е. уравнения (6) однозначно разрешимы относительно переменных
# = %(х>у) ¦ V = *?(х,у) , (Х,у) G D . (7)
2) Функции (6) и (7) непрерывны и имеют непрерывные частные производные соответственно в областях G и D.
3) Функциональный определитель (якобиан)
дх дх
д% дт;
Отображение (6), удовлетворяющее условиям 1) — 3), называется регулярным.
Якобиан 1{х,у) обратного отображения (7) связан с якобианом отображения (6) равенством :
При регулярном отображении каждая внутренняя точка (<f,7) области G переходит во внутреннюю точку (х,у) области D. Отсюда уже следует, что каждая точка границы Г при регулярном отображении (6) преобразуется в некоторую точку границы L, т.е. граница одной области отображается на границу другой области.
Теорема 14. Если отображение (6) области G на область D является регулярным и функция f(x,y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области D, то справедлива следующая формула замены переменных :
Решение. Нетрудно заметить, что область D квадрируема и функция f(x,y) = 2xy непрерывна на этой области. Тогда на основании формулы (4) имеем
Я/(*> y)dxdy = ff/[x(? tj), у(?, г])]| J(?, /;) | d% dij . (8)
D
D
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
D
по области D = {(х,у) | -1 < х < 1, х2 < у < 1} (рис. 16).
t У
X
-*¦
-1
1
п/2
Рис. 16
Рис. 17
1 (\ \ 1
JJ2xydxdy=\ |2xydy dx = Jx(l-x4)dx =0.
D -1 V*2 / -1
Пример 2. Вычислить повторный интеграл
Решение. Данный интеграл равен двойному интегралу от функции /(х, у) = (sin х)/х по области
изображенной на рис. 17, так как область D квадрируема и f(x,y) = (sinx)/x после доопределения в точке (0,0) (/(0,0) = 1) является непрерывной в этой области. Пользуясь замечанием 2, получаем
Решение. Данный двойной интеграл легко вычисляется, если в нем произвести замену переменных: x = rcos<p, y = rsin(p. Поскольку функция
f(x,y) = x2+y2 и область D симметричны относительно осей и начала координат, то достаточно вычислить интеграл по части G области, заключенной между лучами <р = 0 и <р = л/4. Уравнение лемнискаты в указанной части
области в полярных координатах имеет вид : г = a-J2coslcp . Тогда на основании формулы (8) получим
D = {(х,>>) | 0 < у < п/2, у < х < л/2) ,
О у X О О х О X ) О
ПримерЗ. Вычислить двойной интеграл
Д(х2 + у2) dxdy
D
по области D, ограниченной лемнискатой (х +у ) =2а (х —у ) (рис. 18).
У
Рис. 18
JJ (х2 +y2)dxdy = 4 JJ (х2 +y2)dxdy
D
С
ООО О
,4
§19. Тройные и п - кратные интегралы
1. Понятие кубируемости тела и его объема. Теория тройных (а также и п - кратных) интегралов строится в полной аналогии с теорией двойных
интегралов на основе понятия кубируемости тела V в пространстве R3.
Под телом V в R3 понимается замкнутая ограниченная область R3.
Пусть S - граница области V, т.е. некоторая замкнутая поверхность. Понятие
объема тела V вводится на основании объема многогранника. Рассмотрим
многогранники X объема тХ , целиком содержащиеся в теле V , т.е. X а V ,
и многогранники Y объема mY, содержащие в себе это тело: VczY.
Множество {тХ} ограничено сверху, a {mY} ограничено снизу, поэтому
существуют точные границы : т, = mt(V) = sup {тХ} , т = m*(V) - inf {mY}.
x^v V^Y
Числа mt и m называются соответственно внутренним и внешним объемами
