Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
м(*)| rs =/о = const.
В данном случае функция и (х) s /0 является единственным решением задачи
Дирихле для уравнения Лапласа во внешности круга DR в классе ограниченных на бесконечности функций и никакого решения, обращающегося в нуль на бесконечности не существует.
Если решение внешней задачи Дирихле свести к решению внутренней задачи Дирихле с помощью преобразования инверсии на базе теоремы
40* 627
Кельвина, то становятся понятными условия на бесконечности и их существенное различие в случаях п-2 и п > 2 .
Прежде чем перейти к теоремам единственности решения внешней задачи Дирихле, установим внутренний принцип экстремума для гармонических функций в неограниченной области.
Теорема 1 (принцип внутреннего экстремума в неограниченной области). Пусть функция и (х) в неограниченной области Q удовлетворяет условиям (1) и (2) и на бесконечности допускает рост порядка
и(х) =
cc(r) In—, если и = 2, г
сс(г)-
1
п-2
если п > 2
при г ->+оо, где a(r) —>0 при г->+оо. Тогда для функции и(х) при всех х е Q справедлив а оценка
|и(х)| < Стах|и(х)|, С = const > 0. (6)
Доказательство. Не теряя общности рассуждений, предположим, что
начало координат не содержится в Q, т.е. содержится в области D. Рассмотрим преобразование инверсии относительно сферы (окружности при и = 2) SR с центром в начале координат и радиуса R. При этом
преобразовании все точки Rn, лежащие в Q, отображаются
взаимнооднозначно в точки ограниченной области Q*, содержащей в себе
начало координат, точки границы Г области Q переходят в точки границы Г*
области Q*, а бесконечно удаленная точка оо отображается в начало координат. Тогда по теореме Кельвина (см. § 12) функция
*>(#) =
Р)
и
R)
и(х)
является гармонической удовлетворяет условию
в области Q*\{^ = 0} и при
(7)
р = |?|-*0
*>(#) =
a (р) 1п-^у при и = 2 R
а(р)-
при и > 2,
где а (р) = R" а
?.
Р )
-> 0 при р —> 0. Тогда на основании теоремы 7 § 15
об устранимой особенности, функция (7) является гармонической в точке ^ = 0, т.е. функция о (^) является гармонической всюду в области Q*. Поскольку функция о(4) непрерывная на Q* и гармоническая в области Q*, то в силу
внутреннего принципа экстремума для гармонических функций в ограниченной области (см. § 13), она достигает свои наибольшее и наименьшее значения по
Q* на границе Г*, т.е. для любого ^еП* справедлива оценка
|u(?)|<max|u(?)|.
Тогда с учетом этой оценки на основании (7) при всех х е Q имеем
шах
г
f \"~2 г
кЪ
и (х) | <
<
( * \п~2 г
где г = шах г,
г
С = sup
п
шах | и (х) | < С • шах | и (х) |,
V-2
. Тем самым справедливость требуемой
v г J
оценки (6) доказана.
Теорема 2. Если существует решение задачи (1) - (4) при п > 3 и задачи (1) - (3), (5) при п = 2, то оно единственно.
Доказательство. Пусть существуют два решения н,(х) и и2(х) задачи
(1) - (4) при и>3 или задачи (1) - (3), (5) при и =2. Тогда их разность и(х) = и1(х)-и2(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, и поэтому для нее
справедлива оценка (6): | и (х) | < max j и (х) | при всех хеП. Отсюда поскольку
и (х) = 0 на Г следует, что и (х) = 0 в Q .
Пусть Dr - круг радиуса R с центром в начале координат,
Qr=R2\Dr- внешность данного круга. В области для уравнения Лапласа построим решение внешней задачи Дирихле (1) - (3), (5) с граничным условием на окружности Гд (х2 + у2 = R2):
и(х, у) Гя = u(rcos(p, rsin^)| r=R = f(R (p), 0 < <p < 2л , (3')
где / - заданная, по крайней мере, непрерывная функция, / (0) = f (2 л R).
Аналогично §14 решение задачи (1), (2), (3') и (5) можно построить методом разделения переменных в виде суммы ряда Фурье
и(г, <Р)=^Г + Т
2* л=1
(an cos n<p + bn sin nq>),
где коэффициенты an и bn ряда (8) определяются по формулам :
1 2л
an = — J f (ф) cos n(p d(p , n = 0,1, 2,... ;
(8)
(9)
b„=— J f (<p) sin ncp dcp, n = 1,2,.... (10)
ТС о
Подставляя (9) и (10) в ряд (8) и проведя аналогичные, как в §14 преобразования, получим формулу Пуассона
1 2лК г2 — R2
