Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
у/п(хх, х2, ..., х„, и) = Сп.
Тогда общее решение дифференциального уравнения (29) имеет вид 546
v(x, и) = Ф(<//,(х, и), i//2(х, и),..., у/,Хх, и)), где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, и полагая здесь о(х, и) = 0, получим уравнение
Ф(У,(х, и), ц/2{х, и),..., ц/п(х, и)) = 0 (31)
для нахождения искомой функции и (х). Можно доказать, что любое частное решение и(х) уравнения (27) удовлетворяет уравнению (31). В этом смысле равенство (31) определяет общий интеграл (общее решение) уравнения (27).
Отметим, что в отличие от линейного однородного дифференциального уравнения (1) характеристики квазилинейного дифференциального уравнения
(27) лежат не в пространстве R" переменных х,, х2,..., хп, а в пространстве
Rn+l переменных х,, х2,..., хп, и. Поэтому геометрический смысл характеристик заключается в следующем утверждении.
Теорема 5. Любая интегральная поверхность и(х) = и(х], х2,..., хп)
дифференциального уравнения (27) состоит из его характеристик; т.е. через каждую точку этой поверхности проходит характеристика уравнения (27), целиком лежащая на ней.
Доказательство. Пусть м(х) = м(х,, х2, , х„) - произвольная
интегральная поверхность уравнения (27). Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx —
—k- = bk(xx, Х2,..., Хп, и(хх, х2,..., х„)), k = I, п , (32)
at
которая определяет семейство интегральных кривых в пространстве Rn переменных xlt х2,, хп. Пусть кривая у. xx=xx(t), x2=x2(t), ...,
xn=xn(t), a <t < Р - любая интегральная кривая из данного семейства
кривых. В пространстве Rn+i переменных х,, х2,..., хп, и построим кривую
Г : хк =xk(t), к = 1, n , u = u(xx{t), x2(t),..., xn(t)), которая по построению лежит на интегральной поверхности и = и(хх, х2,..., хп). Докажем, что кривая Г является характеристикой уравнения (27), т.е. интегральной кривой системы (30). Для этого достаточно в
du j dt
деле, поскольку м(х) является решением уравнения (27), то имеем
du I _ ди dxx ди dx2 ди dxn _
dtдх] dt дх2 dt дхп dt
ди , ди , ди , ...
= — Ъ, +----К + ... +---bn = f (х, и).
1 л L л n J V 7 '
охх дх2 дхп
Пример 6. Найти решение дифференциального уравнения в частных производных
силу системы (32) проверить справедливость равенства — L= /. В самом
Решение. Составим систему уравнений характеристик уравнения (33):
dx _dy _ du
х у 2 ху Отсюда найдем два независимых интеграла
у
у, и) = —= с,, у/2(х, у, и) = ху-и = С2.
X
Тогда все решения уравнения (33) задаются формулой (31):
(у ^
ф(^„^2) = ф
= 0,
—, ху-и
ух J
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Разрешая последнее равенство относительно второго аргумента, найдем решение данного уравнения
и = ху + (р
'у'
где (р - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Пример 7. Найти решение и{х, у) дифференциального уравнения в частных производных
ди ди
х — + у-------
' ду
дх
и-у ,
(34)
удовлетворяющее условию
“(*> У)\у=г =х~х2. (35)
Решение. Составим систему уравнений характеристик данного дифференциального уравнения
dx _dy _ du х у и-у2
Интегрируя данную систему, найдем независимые первые интегралы
^(х, у, и) = — = С,, i//2(x, у,и)=и + У = С
У У
2 ¦
Тогда решения уравнения (34) задаются формулой (31):
( 2 \
.. . . \ х и + у
ф(^р^2)=ф
= 0.
.У У
Отсюда, разрешив полученное равенство относительно второго аргумента функции Ф, найдем решение уравнения (34):
и = уср
Г \
х
\У;
¦у
где ср - произвольная непрерывно дифференцируемая функция одной
переменной. Теперь, удовлетворяя функцию (36) условию (35), получим решение поставленной задачи
2х2
и(х, у) = 2у-у2-------+ х.
