Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Всякая правильная или корректно поставленная краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных, имеющая своей целью описать физическое детерминированное явление, должна удовлетворять следующим трем требованиям:
1) задача должна допускать решение в определенном классе функций
Мх (требование существования решения);
2) решение должно быть единственным в определенном классе функций М2 (требование единственности решения);
3) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (требование устойчивости решения).
Требования существования и единственности решения задачи означают, что среди данных задачи нет несовместимых и их достаточно для выделения единственного решения, т.е. эти условия характеризуют математическую определенность краевой задачи. Требование устойчивости решения необходимо по следующей причине: в данных любой конкретной задачи, особенно если они получены экспериментально, содержится некоторая погрешность и нужно, чтобы малая погрешность данных приводила к малой погрешности в решениях. Другими словами, требование устойчивости решения выражает физическую детерминированность задачи.
Отметим, что единственность решения задачи следует из требования устойчивости решения. В самом деле, если взять два решения с одинаковыми краевыми данными, то на основании непрерывной зависимости эти решения должны отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину, т.е. они совпадают.
Краевая задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректно поставленной в смысле Ж. Адамара, а множество функций М =МХ глМ2 фО называется классом корректности. Краевая задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из требований 1) - 3), называется некорректно поставленной.
Примеры некорректных задач
Пример 1 (задача Ж. Адамара). Найти в полуплоскости у > 0 решение и(х,у) уравнения Лапласа
(1) (2) (3)
при следующих начальных условиях :
»(х,у)\ =°, xeR ,
ди
dN
у=О
ди
= е cosnx, п> О, xeR.
у=о
В математической физике задачу (1) - (3) называют задачей Коши для уравнения Лапласа.
Нетрудно проверить, что решением задачи (1) - (3) является функция
-¦Гп
и(х,у) =-------cos гас shwy ,
(4)
где sh пу = (епу -е пу)/2 - гиперболический синус.
В данном случае нарушено требование устойчивости решения задачи. Действительно, из начальных условий (2) и (3) имеем
ди
ду у=0
Вместе с тем решение (4) задачи (1) - (3) будет принимать сколь угодно большие значения при достаточно больших п, так как для п »1 справедлива оценка :
1 „-J~n(J~ny-1)
\и(х,у)\ = 0
— е кп
Отсюда следует, что при любом фиксированном у > 0 решение
| и (х, у) | —> + 00 при п —> + оо .
Таким образом, очень малые изменения в начальных данных влекут за собой сколь угодно большие изменения в решении задачи Коши в сколь угодной близости от прямой >> = 0. Это означает, что задача Коши для уравнения (1) поставлена некорректно. Уравнение Лапласа относится к уравнениям эллиптического типа, поэтому задача Коши, вообще говоря, для уравнений эллиптического типа поставлена некорректно.
Пример 2. Рассмотрим прямоугольник
?> = {(*,0|0<* <7r,0<t <тта},
где а - положительное иррациональное число. Найти в прямоугольнике D решение и(х, t) уравнения колебания струны
(5)
удовлетворяющее граничным условиям :
и0,0|(=0=0. u(x,t)\x=Q =0, u(x,t)\х=ж=0 (6)
и
(7)
Краевую задачу (5) - (7) называют задачей Дирихле для уравнения струны, так как по всей границе области D заданы значения искомого решения.
Решением этой задачи является функция
. . 1 sin (л Л sin (их)
un(x,t) = -r------(8)
sm (anTt)
Поскольку a - заданное иррациональное число, то из теории действительных чисел для любого заданного рационального числа ?„>0
существует последовательность рациональных чисел rn = — е Q , pn&Z ,
Я*
qn&N, такая, что
а-гА =
a -
PjL
Яп
<? =
Я„
Тогда, учитывая, что для любого леей выполняется неравенство | sinx| < | х|, будем иметь
| sin (а л- <7Л) | = | sin (а я qn-я р„)\ =
Рп
sm
nqn
а
а--
Я„
<пЯл ?п =
V
я
Яп
Рп
Яп
\\
//
<
(9)
Для любой фиксированной точки (x,t)eD из формулы (8) в силу (9) получим оценку снизу:
1
sm(qnt)\\sin(qnx)\ . ,, . .
>
Отсюда следует, что при qn —>+ оо функция uq (x,t)—»оо. Следовательно, в
этой задаче также нарушено требование устойчивости.
