Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
дх ду
и найдем его решение. Для этого уравнение (11) представим в виде (см. § 12, п. 9, гл. 1)
д_ дх
ду
= 0.
Отсюда следует, что
|^ = С,(у), (12)
ду
где Сх(у) - произвольная непрерывная функция. Интегрируя уравнение (12) по переменной у, получим
и(х,у)= \Cx{y)dy + C2(x), где С2(х) - произвольная функция, или
«(x,y) = f(x) + g(y). (13)
где f(x) = C2(x), g(y)= \Cx(y)dy. Если функции /(*) и g(y) один раз
непрерывно дифференцируемы на числовой прямой, то функция и{х,у), определенная формулой (13), задает общее решение дифференциального
уравнения (11) на плоскости R2.
Рассмотрим еще один пример. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных
д2и(х,у)
ду2
Представим уравнение (14) в следующей форме:
ду\ду )
Отсюда вытекает, что
Интегрируя последнее уравнение по переменной у , найдем искомую функцию
Если функции f (х) и g(x) непрерывны на R, то функция (15) определяет общее решение уравнения (14).
Исходя из общего решения уравнения (11) или (14), можно найти частное решение этих уравнений. Для этого надо найти конкретный вид функций / и g на основании заданных условий рассматриваемой задачи.
Надо отметить, что только для малого числа дифференциальных уравнений в частных производных удается построить в явном виде общее решение, поэтому в теории дифференциальных уравнений в частных производных созданы методы непосредственного нахождения частных решений, удовлетворяющих определенным начальным и граничным условиям.
Среди дифференциальных уравнений в частных производных уравнения первого порядка с одной неизвестной функцией обладают двумя важными свойствами :
1) они имеют общее решение;
2) задача интегрирования таких уравнений в частных производных сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Следующий параграф и посвящен построению общего решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.
§ 2. Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных. Рассмотрим в области D с: R", п> 2, линейное однородное уравнение вида
где Ъх, Ь2,Ьп - заданные в области D непрерывно дифференцируемые функции независимых переменных л:,, х2, хп и не обращающиеся
или
и (х, у) = JC, (х) dy + С2(х) = у ¦ С, (х) + С2 (х) u(x,y) = y-f(x) + g(x).
(15)
(1)
одновременно в нуль, т.е. при любом xeD : b?(x) + b2(x) + ... + b„(x) > О, и(х) = и(х1, х2,хп) - искомая функция.
Решением в области ?)0cD дифференциального уравнения в частных производных (1) называется любая функция и=ц/(jc,, х2,хИ), непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка и обращающая его в тождество по независимым переменным xt, х2,хя.
Геометрически решение и = y/(jc) уравнения (1) можно интерпретировать как поверхность в пространстве Rn+l переменных jc,, jc2, ..., jc„, и. Эту
поверхность называют интегральной поверхностью.
Наряду с дифференциальным уравнением (1) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению (1):
=bl(Xl’ Х2» -> Хп)’
dt
dx.
2
(11
b2 (xj, x2,..., xn),
(2)
dx
dt
или в симметричной форме
dxx _ dx2
7 = b„(xi,x2,...,xn)
d:c„
(3)
Ь2 Ьп
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2) называется системой уравнений характеристик для дифференциального уравнения в частных производных (1), а ее интегральные кривые - характеристиками уравнения (1).
В силу условий, наложенных на коэффициенты bk(jc) , k = \,n, для системы (2) или (3) имеет место теорема существования и единственности решения задачи Коши, т.е. через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая системы (2).
Теорема 1. На интегральной кривой системы дифференциальных уравнений (2) (на характеристике дифференциального уравнения (1)) решение
u(xv х2,хп) дифференциального уравнения в частных производных (1)
