Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
дх дх ду ду
является квазилинейным уравнением второго порядка. Уравнение
д2 и д2 и
— + — + С(х,у)и = О дх ду
является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка относительно искомой функции и (Ху). А уравнение
>2
+ С (jc, у) и = О
уже является нелинейным и неквазилинейным уравнением первого порядка.
Линейное уравнение первого порядка можно написать в следующем виде:
bl(x) — + b2(x)— + ... + bn(x)— + c(x)u = дхх дх2 охп
п ди
= 'Zbi(x) — + c(x)u = f(x), (2)
1=1 oxj
где ЪХ,Ъ2,..., Ъп, с и / - заданные в области D функции переменных jc,, jc2, хп. При этом функции bx,b2,..., Ьп, с называются коэффициентами, а / (х) - правой частью или свободным членом линейного дифференциального
уравнения в частных производных (2).
Линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка может быть записано так :
п д2 и п ди
Ё ауО)- я + 'Zbi(x)~ + c(x)u = f(x), (3)
i,j=\ дх( дх j i=i dxi
где aiy(jc), b((x), c(jc) - заданные в области D функции, которые называются
коэффициентами уравнения, /(jc) - заданная в области D функция и называется свободным членом и правой частью уравнения (3).
Если в уравнениях (2) и (3) функция / (jc) = 0, то они называются
однородными. Если /(jc)#0, то дифференциальные уравнения (2) и (3) называются неоднородными.
Левую часть дифференциального уравнения в частных производных (3) обозначим через Ь(и). Тогда оно примет вид
L (и) = Lu = f (jc) , (4)
где
п д2и п ди
Lu=Y, ау(х) - - + TJbi(x) — + c(x)u (5)
i,j~\ dxt dXj i=i dx-
называют линейным дифференциальным оператором в частных производных
второго порядка. Если же в (5) все atj{x) = 0, 1,7=1, п, но хотя бы один из
коэффициентов Ь;(х) отличен от нуля, то L уже перестает быть оператором
второго порядка и является линейным дифференциальным оператором первого порядка.
Линейные дифференциальные операторы первого и второго порядков обладают следующими свойствами:
1°. L(c-u) = c-Lu, с = const. 2° L(ul+u1) = Ьщ+Ьи2.
Справедливость этих свойств следует из того, что для частных производных справедливы свойства, аналогичные 1° и 2°.
Из свойств 1° и 2° вытекают важные утверждения для линейных однородных дифференциальных уравнений.
Утверждение 1. Если функция и (jc) в области D является решением линейного однородного дифференциального уравнения Lu = 0, то произведение с-и(х), с = const, также является в области D решением этого уравнения.
Утверждение 2. Если функции и, (jc) и и2(х) в области D являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения Lu = 0, то их сумма и, (jc) + и2 (jc) также в D является решением уравнения Lu = 0.
Следствие. Если в области D функции h,(jc), и2(х), ... , ир(х) удовлетворяют уравнению Lu = 0, то их линейная комбинация
с,м,(jc) + с2и2(х)+ ... +ср ир(jc), где с;, i = 1, р - произвольные постоянные,
также является в области D решением уравнения Lu = 0.
Пример 1. Проверить, являются ли следующие функции :
а) u(x,y,z) = x2/у2 + у2/z2 ; 6)u = xyz
решениями уравнения
ди ди ди
х— + у— + z— = 0 дх ду dz
в области: jc>0, ^>0, z > 0.
Решение, а) Вычислим частные производные их, иу и uz :
ди _2х ди _ 2х2 2у ди _ 2у2
дх у2 ду у3 z2 dz z3
Подставляя их в данное уравнение, получим
2jc2 2jc2 2 у2 2 у2 л
хих+уи +zu, = —-------------Г + —------г = °-
у у Z Z
Следовательно, функция и = х2 / у2 + у2 / z2 в указанной области
является решением данного уравнения.
б) Также найдем частные производные : их = yz , uy=xz, uz=xy и
подставим их в данное уравнение:
хих + уиу + zuz = 3ху z Ф О
при ;с>0, .у>0, z>0, поэтому функция u = xyz не является решением уравнения.
Пример 2. Проверить, является ли функция
и(*,>;) = In-, г2 =(x-x0f +0'-j'0)2, г
(jCo^o) - фиксированная точка плоскости R2, решением уравнения Лапласа
Аи=ихх+иуу=0.
Решение. Данную функцию представим для удобства вычисления частных производных в следующем виде:
1 1 1 1 2 и =1п—= —In г .
