Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
ar(x) *s,s‘r(x)
Если ax Д > 0 и a2 Д >0,то равенство (15) можно переписать в виде
К= \р(.х)у'к2{х)^+ \q(x)y2k(x)dx+ р(а)С^у2(а) + р(Ь)^-у2(Ь)
а а Р\ Рг
а,
>
>
\q (х)yl (х) dx > min ----- > 0 . Г ' * °тьг(х)
Тем самым справедливость указанных оценок для собственных значений Лк
доказана. Из оценок следует положительность собственных значений задачи (1) и (3) и указана оценка снизу для наименьшего собственного значения Я,.
Замечание 1. В случае граничных условий второго рода
у'{а) = у'{Ъ) = 0 (18)
при q(x) = 0 полученная выше оценка для наименьшего собственного значения Я1 > О неверна. В этом случае краевая задача (1) и (18) при q(x) = 0 имеет наименьшее собственное значение Я, = 0 и ему соответствует собственная
функция у, (л) = const.
Замечание 2. Рассмотрим случай, когда одно из условий (2) нарушено, а именно, когда q(x) < О на [а, 6]. Будучи непрерывной на [а, 6], она
ограничена снизу : q(x) > -q0, q0 = const > 0. Обозначим через
Г = д 0/ro. Л = ц-у, q(x) = q(x) + yr(x).
Ясно, что q (x)>-q0+ — r0 = 0. С учетом этих обозначений
го
дифференциальное уравнение (1) принимает вид
[р (¦*) /(¦*)] -q(x)y(x) + lir{x)y{x) = 0.. (19)
ах
По доказанному выше, дифференциальное уравнение (19) при граничных условиях (3) имеет счетное множество положительных собственных значений цк, juk-> + оо, и отвечающих им ортонормированную систему собственных
функций ук(х) с весом г(х). Но тогда краевая задача (1) и (3) при q(x)< О имеет счетное Множество собственных значений : Лк = цк - у, среди которых может оказаться только конечное число отрицательных собственных значений.
§ 9. Сингулярные интегральные уравнения
1. Сингулярные интегралы. Выше было отмечено (см. § 6), что интегральное уравнение с ядром К(х, t) , имеющим подвижную особенность
K{x,t) = ^^l, (1)
I X-t I
где функция Н (х, t) при a<x,t<b ограничена, может быть преобразовано при 0 < а < 1 в интегральное уравнение Фредгольма с ограниченным ядром.
Если ядро (1) имеет неинтегрируемые особенности, т.е. а> 1, то соответствующее интегральное уравнение теряет смысл. Во многих прикладных задачах теории упругости, аэродинамики и других наук приходится иметь дело с
ядрами, у которых а = 1. В этом случае интеграл в интегральном уравнении
рассматривают в смысле главного значения (см. гл. 1, § 10, п. 3).
Определение 1. Главным значением (или значением по Коши)
lim
?•-*0
несобственного интеграла по отрезку [а, 6] функции / (х), интегрируемой на каждом из сегментов [а, с - s] и [с + ?, 6], где a <с <b, ? -
произвольное достаточно малое положительное число, и неограниченной в окрестности точки с, называется конечный предел
] f(x)dx+ J f(x)dx
а с+е _
и обозначается символом
ь ь
о.р. J f(x)dx или просто J f(x)dx.
a a
Заметим, что главное значение интеграла совпадает с обычным (собственным или несобственным) интегралом, если этот последний существует.
Интегралы в смысле главного значения называют особыми или сингулярными интегралами.
Рассмотрим пример. Пусть /(х) = —-— ,где a<x<b , a<c <b. Тогда
х-с
с7‘ dx К dx . b-c . ?.
j ----+ j -----= In-----+ In — , (2)
a x —с c+e2 x-с c —a ?2
где fj >0, ?2>0. Предел суммы (2) при независимом стремлении к нулю ?х и
е2 не существует, т.е. несобственный интеграл f dx не СущестВует Однако
„ х-с
при ?х = ?г = ? —> 0 предел от суммы (2) существует и равен по определению 1 главному значению интеграла
К dx , b-c
О.р. J------------------------------------------= 1п-. (3)
a х—с с—a
Определение 2. Функция / (jc) удовлетворяет на отрезке [а, 6] условию Гельдера с показателем а е (0,1], если существует постоянная К > 0 такая, что при всех хх, х2 е [а, 6] имеет место неравенство
\f{xl)~f{x2)\^K-\xl-x2 Г.
Класс функций, удовлетворяющих на [а, 6] условию Гельдера с
показателем a, будем обозначать символом Ha[a, 6]. При a = 1 данное условие совпадает с известным условием Липшица.
Теорема 1. Если /(jc) е Ha[a, 6], то сингулярный интеграл Коши
