Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
(Kh, h)> 0.
Следствие 5. Для того чтобы симметрическое ядро было строго положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым.
Доказательство. Пусть ядро К(х, t) строго положительно определенное. Допустим, что оно незамкнутое. Тогда в силу леммы 13 существует непрерывная на [а, Ь~\ функция h(x), не равная тождественно нулю, которая ортогональна ко всем собственным функциям ядра К(х, t). Подставляя эту функцию h(x) в формулу (50) и замечая, что все hk = 0, получим (Kh, h) = 0, что невозможно, так как (Kh, h)> 0.
Пусть теперь ядро K(x,t) замкнутое. Покажем, что в этом случае оно строго положительно определенное. Рассуждаем методом от противного, т.е. пусть существует непрерывная и не равная тождественно нулю на функция такая, что (Kh,h) = 0. Поскольку все характеристические числа Л*>0, то из формулы (50) следует, что все hk=(<pk,h) = 0. Последнее равенство невозможно в силу замкнутости системы собственных функций {^*(Х) } ВДР3 0 (см. лемму 13).
Следствие 6. Если симметрическое, непрерывное ядро К(х, t) является положительно определенным, то К(х, х)>0 при a < x<b.
Доказательство. Допустим, что существует точка (х0,х0) диагонали x = t такая, что /Г(х0,х0)<0. Тогда в силу непрерывности ядра найдется
окрестность U = {(х, t) | х0 —е <х, t <х0 +s} с D точки (х0,х0), где K(x,t)< 0. Теперь определим непрерывную функцию h(x) так: она положительна при х0-е<х<х0+? и равна нулю при остальных значениях х . Тогда интеграл (Kh, h) приводится к виду
(Kh, И) = t)h(x)h(t)dxdt
и
и он меньше нуля, что противоречит условию (Kh, h)> 0 при любой непрерывной на [а,Ь] функции h(x).
В лемме 7 было показано, что если билинейный ряд (26) сходится равномерно на замкнутом квадрате D = {(х, t) \ а < х, t <Ь} , то его сумма
равна симметрической непрерывной на D функции K(x,t). Возникает обратный вопрос, при каких условиях относительно K(x,t) ряд (26) сходится равномерно на D.
Теорема Мерсера. Всякое симметрическое, непрерывное на D ядро К(х, t) с положительными характеристическими числами разлагается по собственным функциям в ряд (26), который сходится абсолютно и равномерно на D.
Доказательство. Рассмотрим новое ядро
« <?,(*) <?,(0
Kw(x,t) = K(x,t)-Z
/=1 Яг-
которое является симметрическим и непрерывным на D. На основании леммы
6 ядро K(n\x,t) имеет характеристические числа Ля+1, Лп+2, ..., которые положительны. Тогда в силу следствия 6
К м (х, х) = К(х,х)-± > 0.
i=i Я;
Последнее неравенство справедливо при любом п , поэтому следующий ряд сходится
<Р? (х)
Z
1*1
я,.
<К(х, х)<М .
Отсюда на основании неравенства Коши - Буняковского имеем
Z
k = n
<Рь(х) <Pk{t)
<
z
k=n
<P2k(x)
Л>
Z
k = n
<P2k(t)
Я,
(*)
или
z
k-n
<рк(х)<рлх) < 'nf <P2k(x)'
к [L лк J
л/м .
Из полученной оценки следует, что ряд (26) сходится равномерно по t по
505
[a,b] при любом фиксированном х. Аналогично доказывается равномерная сходимость ряда (26) по х при фиксированном t. Из доказанного вытекает, что
??№ = KiX'X).
к=1 Лк
На основании признака Дини (см. гл. 1, §11, п. 2) последний ряд сходится равномерно на [а,Ь\. Тогда из неравенства (*) следует равномерная и
абсолютная сходимость ряда (26) на D.
3. Решение симметрических интегральных уравнений
Симметрическое интегральное уравнение является частным случаем общего интегрального уравнения Фредгольма второго рода и для его решения можно воспользоваться теоремами Фредгольма. Здесь задача ставится по иному: решить симметрическое интегральное уравнение, предполагая известной систему его характеристических чисел и собственных функций.
Пусть дано интегральное уравнение Фредгольма
ь
<р(х)~ A\K(x,t)<p{t)dt =f(x) (52)
а
с симметрическим ядром K(x,t). Будем предполагать, что функции K(x,t) и . f(x) непрерывны при a<x,t<b. Пусть Л,, Л2, ¦¦¦, Лп, ¦¦¦ и <рх(х), <р2(х), •••, <рп(х),--- система характеристических чисел и собственных функций ядра K(x,t). Согласно теоремам Фредгольма интегральное уравнение (52) имеет единственное непрерывное на [а,Ь] решение, если Л не является характеристическим числом ядра K(x,t). Это решение в силу (52) можно представить в виде
<р(х) = f(x) + A g(x), (53)
где
Ь
g(x) = jK(x,t) <p{t) dt.
a
На основании теоремы Гильберта - Шмидта функцию g(x) можно разложить в
