Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
независимые от уже известных. В случае симметрического ядра на этот вопрос ответ отрицательный.
Лемма 8. Полная система собственных функций симметрического ядра остается полной системой собственных функций относительно любой его итерации.
Доказательство. Возвращаясь к доказательству теоремы 6 § 6, рассмотрим равенство
ь
y/t (х) - ht \К(х, t) y/i (t) dt = 0,
a
где ht - корень уравнения hn = /л, /л - характеристическое число повторного ядра Kn(x,t). Если /г; есть какой-либо мнимый корень уравнения h" = /л, то у/({х) == 0 , так как симметрическое действительное ядро K(x,t) в силу леммы 2 не может иметь мнимых характеристических чисел. Следовательно, нас интересуют только те корни hi, которые являются действительными. В связи с этим рассмотрим отдельно два случая, когда п - нечетное и четное. Пусть п -нечетное число. Тогда обозначим через hx = ^/// единственный действительный корень. Тогда все hx будут характеристическими числами ядра K(x,t) с соответствующей собственной функцией у/х(х). Нетрудно заметить, что срх(х) = <р(х), так как у/2, у/ъ, ..., цгп - тождественно равны нулю, а
у/х(х) + у/2 (х)+...+у/я(х) = <р{х),
(р{х) - собственная функция ядра Kn(x,t). Итак, в этом случае собственная функция <р(х) ядра Kn(x,t) есть и собственная функция ядра K(x,t). Пусть п - четное число. В этом случае число /л>0, иначе все /г, были бы мнимыми, что невозможно. Следовательно, в этом случае имеем два действительных корня: hx= + !{fju, h2=-!{fju и две соответствующие им собственные функции у/х{х) и у/2(х) ядра K(x,t). Тогда (р{х) = у/Х{х) + у/2(х), ибо все
у/к(х) = 0, к = 3,п. Здесь одна из функций у/х(х) или у/2{х) не может оказаться тождественно равной нулю.
Итак, каждая собственная функция ядра Kn(x,t) будет либо собственной функцией самого ядра K(x,t), либо суммой двух его собственных функций. Будучи собственной функцией для ядра K{x,t) функции у/х(х) и у/2(х) в силу
теоремы 6 §6 останутся собственными функциями и для ядра Kn(x,t) с
характеристическим числом //. Поэтому сумма (р(х) = у/1{х) + у/г(х) не
представляет новой собственной функции для ядра Kn(x,t), что и требовалось доказать.
Теперь на основании лемм 7 и 8 можно сформулировать утверждение о разложении в билинейный ряд повторного ядра
КЛХ!,}^ЩМ1, (32,
*=1 лк
Лемма 9. Если билинейный ряд (32) сходится равномерно на квадрате D, то при всех (х, t)e D справедливо равенство
*,<*,» = (33)
ы 1 Як
Доказательство аналогично доказательству леммы 7.
Далее докажем равномерную сходимость ряда (32) на D. Предварительно установим справедливость следующего утверждения.
Лемма 10. Пусть Як - последовательность характеристических чисел ядра K(x,t) и (рк (х) - соответствующие им собственные функии. Тогда ряд
ЪЩ1 (34)
к=1 Лк
сходится на [a,b\ и его сумма ограничена.
Доказательство. Зафиксируем х и будем рассматривать ядро K(x,t) как функцию переменной t. Найдем коэффициенты Фурье функции K(x,t) относительно ортонормированной системы {(рк(х)} :
ск = \К{х, 0 (pk{t)dt = .
a Ak
Тогда в силу неравенства Бесселя (см. гл. 1, § 11, п. 5)
Zcl = S )к\х, t)dt < L, (35)
k = 1 k = 1 a
где L = const > 0, что и доказывает лемму.
Лемма 11. Билинейный ряд (32) при п>Ъ сходится абсолютно и равномерно на квадрате D.
Доказательство. Поскольку множество характеристических чисел (13) бесконечно, то их абсолютные величины неограниченно возрастают вместе с к, т.е. \Як\—>+со при к—>+оо. На основании неравенства Коши и леммы 10 оценим остаток ряда (32) :
у 1 <Pki*) 1 1 <Рк( О 1 < 1 у Мх) <Рк(0 <
^ to I л ~~ I п т-2 ^ п п ~~
<
1____( у vl{xj\2( й L
I п—2 л 2 1 2 10! и—2
Отсюда следует, что остаток функционального ряда (32) при п > 2 равномерно относительно (дс, /) из Z) стремится к нулю при т—> + оо. Тогда ряд (32) сходится абсолютно и равномерно на квадрате D при п> 3 .
Отметим, что лемма 11 справедлива и при п = 2. Этот случай будет рассмотрен ниже.
Лемма 12. Числовой ряд
абсолютно сходится при всех п > 2.
Доказательство. Поскольку J Лк | —> + оо , то существует натуральное
к> т. Поэтому достаточно исследовать на сходимость ряд (36) только при п- 2 . В силу оценки (35) при любом ре N справедливо неравенство
