Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя функцию (28) в равенство (29) и вычислив интегралы, получим
систему относительно с,ис2:
2 к
с, = Jcos?[/(^) + А с, s\nt-Ac2 cos t \dt =
2 к
2 к
2 к
- \f (t)costdt-Acx fcost-dcost-Ac2 Jcos2tdt-
= /, ~^cx
cos t
2k
2 к
1
¦ Ac2 J— (1 + cos21)dt = fx-Яс2
о 2
l sin It 2k
2z +-
2 2 0
In
=1-Лс2тг, f = \f(t)costdt,
0
2л
c2 = Jsinf [/(f)+Acj sinf—Лс2 cosf]ti№ =
0
2л- 2л-
= J/(0 snUfifr+Ac, Jsin2 ?<ft-,lc2 JsiiU-cos?fifr =
2it
2k J 2гг
=f2+Acx f-(l-cos2t)dt-Ac2 Jsin?-fi?sin? =
0 2 0
-f2 +Acx —
Итак,
2л--
sin2?
2it
-Xi
sin21
lie In
= /2+Асхл, f2= J/(0 sintdt.
j Cj + Ал c2 fx,
1 ~Алсх+с2=/2.
Определитель этой системы В(А)=1+А2л2 >0 при всех действительных
значениях параметра А. Поэтому неоднородная система имеет единственное решение:
с _AW = f-Anf2 с =Р2(Л)^Алfx+ /2 1 Я(Л) 1 + AV ’ 2 Z)(yl) 1 + AV
Тогда из (28) находим искомое решение уравнения (27):
ИХ)=/(*)+ —^ ¦ ~—/2 ^ sin х -^ f-}—/2 ^ cos х.
1 + 1 ж
2 _2
1 + 1%
2_2
(30)
Если, например, /(х)=1,то
2л-
/, = Jl • cos tdt = sin t
2 к
2п
= 0- /2= Jl-sinf dt = -cost
2k
= 0.
Из (30) получаем <p{x) = l. Если /(x) = cosx, to
fx = Jcos2 tdt-л, /2 = Jcos? smtdt=0.
о о
Тогда из формулы (30) следует, что
ф(х)=cos х+ -----—- (sin х-Хп cos х).
Хп 1+?п2 Пример 3. Решить уравнение
К
ф{х)~X \sin(x+1) y(t) dt=f(x), (31)
0
где f(x) заданная на [0,п] непрерывная функция.
Решение. Ядро уравнения (31) вырожденно, так как sin (x+?)=sinxcos?+cosxsin?.
В силу последнего равенства из уравнения (31) получим
К К
<р(х)=f(x)+Xsmx^cost<p{t)dt + Xcosx^smt(p{t)dt =
где
=f(x)+Xcx sinx + Xc2 cosx , (32)
К К
сх = ^ср(?) cos? dt; c2 = jV>(0 sin? dt.
о 0
Подставляя функцию (32) в последние интегралы, имеем:
К
с, = Jcos? [/(t) + Xcx sint + Xc2 cost \dt =
= fx+Xcx Jcos? sin?dt + Xc2 Jcos2tdt=
• 2 ^ Л
sm t
-fx+Xcx -
Z 0
c2 = Jsin?[/(?) + Xcx sint + Xc2 cos?]c?? =
* 1к Л ж
+ Xc2 — J(l + cos2?)d? = fx+Xc2—, fx = J/(?)cos? dt;
о 2 о 2 о
/I 71 71
= J/(?) sintdt + Xcx Jsin2 tdt + Xc2 Jsin?•costdt =
=/2+ЯсЛ’ f2 = \f(t)smtdt.
2- n
Таким образом,
Определитель данной системы D(A) = \-(Лл/2)2 имеет корни Л1=-2/л, Я2 = 2/я\ которые являются характеристическими числами уравнения (31).
Если А.Ф±2/л, то В(Л)ФО и коэффициенты с, и с2 единственным образом:
Лл
' 1 1 J 2 ,, / + fг
определяются
с,=
г Лм_ г
А(Л) Л+ТЛ
ад
1-
Лл
\2
С2
1-
Лл
\2
и единственное решение уравнения (31) дается формулой (32) :
2Л(2/х+Лл/г)
2Л(Лл f +2/2)
<Р 00= f (х) +--- -----sinx + —-———7-=^ cosx
4-(Лл)2 4-(Лл)2
Прежде всего заметим, что в случае уравнения (31) ядро
К* (x,t)=K(t,x)^K(x,t), поэтому союзное однородное интегральное
уравнение совпадает с соответствующим однородным уравнением
<р(х)-Л Jsin(x + ?) <p(t) dt = О .
(34)
Теперь найдем собственные функции, соответствующие характеристическим числам Л1=-2/л и Л2=2/л. Для этого найдем решение
однородной системы, соответствующей системе (33). При Л=Л1--2/л
получаем, что с,+с2= 0 или с2= —с,. Тогда соответствующее решение
уравнения (34) получаем из (32) при f(x) = 0 , с2 =-с,:
<pl(x)=cl (sinx-cosx).
Аналогично при Л = Л2=2/л получаем с,=с2 и ф2(х)=сх (sinx + cosx).
Пусть в неоднородном уравнении (31) Л=Л[=-2/ л, тогда система (33) принимает вид
Cj + с2 — /| , Cj + с2 — f2, и для разрешимости уравнения (31) необходимо и достаточно, чтобы fx=f2- А это означает ортогональность функций f(x) и (рх (х) :
