Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
аналитическая функция относительно Л в малой окрестности Л = Л0, все
функции a,;(х, t) е C(D), i = \,r . Подставляя (27) в уравнение (7), умножая обе
части на (Л-Л0)г и полагая затем Л = Л0, получим
ь
ar(x, t) = Л0 JК(х, s)ar(s, t)ds.
a
Отсюда следует, что коэффициент ar(x, t) как функция от х при любом
значении t является решением однородного уравнения (26) при Л = Л0.
Определение. Значение Л = Л0, при котором однородное уравнение (26)
имеет решение, отличное от нулевого, называется характеристическим числом ядра К (х, t) или соответствующего интегрального уравнения (1), а
соответствующее этому Л0 ненулевое решение уравнения (26) называется собственной функцией ядра.
Отметим, что Л0 не может быть равно нулю, ибо из уравнения (26) при
Л = 0 следует, что <р(х) = 0. Таким образом, из теоремы 3 следует, что всякий корень уравнения D(A) = 0 является характеристическим числом ядра К(х, t) . Если же Л не есть корень уравнения D(A) = 0, то в силу теоремы 1 уравнение (1) имеет единственное решение и, в частности, соответствующее однородное уравнение (26) имеет только нулевое решение. Следовательно, характеристическое число ядра K(x,t) или интегрального уравнения (1) суть
корни уравнения D(/1) = 0. Как известно из теории аналитических функций
целая функция D(/1) может иметь лишь конечное число нулей во всякой
ограниченной области комплексной области (Я). Тем самым доказана справедливость следующего факта.
Теорема 4. Во всякой ограниченной области комплексной области (Я) может существовать лишь конечное множество характеристических чисел уравнения (1).
Из этой теоремы следует, что множество характеристических чисел уравнения (1) не имеет конечных предельных точек. Следовательно, это множество не более чем счетно.
Пусть Я - характеристическое число уравнения (1) и
все соответствующие ему линейно независимые на сегменте [a,b\ собственные функции, т.е. ненулевые решения уравнения (26):
Если Я является комплексным числом, то и функции (28) тоже будут комплексными. В силу линейности и однородности уравнения (26) любая линейная комбинация собственных функций (28) также является собственной функцией. Применяя процесс ортогонализации к системе функций (28), мы можем считать, что функции взаимно ортогональны и нормированы, т.е.
Теорема 5. Каждому характеристическому числу Я соответствует конечное число собственных функций.
Доказательство. Покажем, что число т из системы (28) является конечным. Равенство (29) перепишем переходя к сопряженным величинам
Отсюда видно, что левая часть этого равенства есть коэффициент Фурье функции K(x,t) при фиксированном х относительно ортонормированной системы (28). В силу неравенства Бесселя
Интегрируя это неравенство по х от а до Ъ и учитывая, что система (28) ортонормирована и | Я | = \Я\, получим
(рх(х), ср2(х),<рт(х)
(28)
(29)
ь
О,
= JК(х, 0 <p.(t) dt = Ь\К(х, t) <Р;(0 dt.
^ a a
a a
Отсюда
т<\Я\2 b\\K2(x,t)dxdt.
а а
Поскольку правая часть последнего неравенства представляет конечное положительное число, то т должно быть конечным числом.
Число т из (28) называют рангом характеристического числа Л.
Таким образом, каждому характеристическому числу соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций, т.е. ранг всякого характеристического числа конечен.
Теорема 6. Если Л является характеристическим числом ядра К (х, t),
то Лп является характеристическим числом итерованного ядра Кп (х, t) . Обратно, если /л есть характеристическое число ядра Кп (х, t), то ядро
К (х, t) имеет хотя бы одно характеристическое число среди корней п - й
степени числа /л.
Доказательство. Пусть (р(х) - собственная функция, соответствующая характеристическому числу Л ядра К (х, t), т.е.
ь
<р(х) = Л\К(х, s)q>(s)ds .
a
Внося здесь под знак интеграла вместо cp(s) выражение, определяемое этой формулой, получим
ь ь ь
ф(х) = Я2 \К(х, t) \K(t, <p)<p(s)dsdt = Я2 \К2(х, s)(p(s)ds
a a a
и последовательно имеем
ь
<р(х) = Лн jKn(x, s)<p(s)ds.
a
Отсюда следует, что если Л есть характеристическое число ядра К (х, t), то Лн будет характеристическим числом его итерации Kn (х, t) , т.е. собственные функции ядра К (х, t) , соответствующие характеристическим числам Л , будут собственными функциями и ядра Kn (х, t) .
