Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
где
сх- J <p(t)dt, с2 - ft<p(t)dt.
(13)
Теперь функцию (12) подставим в равенства (13) и вычислим интегралы. Тогда получим систему двух линейных уравнений относительно с, и с2:
1 1 5 Я
с, = f<p(t)dt= J(l + 5Ac, t-3Ac2)dt = 1н--------с, -ЗЛс2,
о о 2
1 1 1 5 Я
с2 = J tcp (t) dt = J (t + 5 A c, t2 - 3 A c21) dt = —I-1
oo 2 3
Отсюда
ЗА
г
i j±
v 2 j 5Л
-----с, +c,
3 1 2
+ 3 Ac2 =1, ЗЯ^1 1
(14)
Определитель системы (14) 5
D(A) =
1--A ЗА 2
5 О 1 3 5
—A 1 н—A 3 2
= —(5Я2 -4A + 4)- — 4 4
A —
2
5y
\2
+ -
16
25
отличен от нуля при любых действительных значениях параметра А. Тогда по формулам Крамера (9) находим с, и с2:
1 ЗА
1
ci =
1 , ЗА
- 1 + —
2 2
1
6 + 5Я 3(5Л2 -4Л + 4)
Теперь, подставляя найденные значения с, и с2 в (12), получим решение уравнения (11):
, ч , 20Лх 6Л + 5Л2 4-10Л + 20Лх
Ф(Х) = 1 +--г----------------------=-----г----------.
5Л -4Л + 4 5Я -4Л + 4 5Л2-4Л + 4
Далее, используя формулы Крамера (9), найдем решение уравнения (3). Для этого в формуле (9) определитель Д(Л) разложим по элементам г-го столбца правых частей:
Д. (Л) = ? Dik (Л)/к, i = l,n, (15)
(Ы
где Д*(А) - алгебраические дополнения, которые являются многочленами
относительно Я-го порядка не выше, чем я-1. С учетом (15) формула (9) принимает вид
С‘ = ^ Dik ’ 1 = 1’ ” •
JD\A) к=1
Подставляя эти значения в формулу (5), получим
ср(х) = /(х) + Л? 'LDik(X)fk =
1=1 JL) уА) к=1
=/ w+w J / со ^ (о ^=
/=1 к=\ а
= + ^ Dik
ЩЛ) а \/=1 *=1 J
ИЛИ
ъ
<р(х) = /(х) + Я \R(x,t,X)f(t)dt, (16)
а
где
R(x,t,X) = Z D*(X) at(x) &*(0 •
V(A) i,k=1
Функция R(x,t,X) является резольвентой или разрешающим ядром уравнения (3). При фиксированных jc и t она представляет собой дробную рациональную функцию от параметра Л. При всех значениях Л, отличных от характеристических чисел ядра K(x,t), функция R(x,t,Л) является непрерывной на замкнутом квадрате a<x,t <Ъ.
Итак, если функции а;(х), bt(i), f(x) являются непрерывными на
D(X)
1--Л 1
2
М I
3 2
отрезке [a,b], i = l,n, и D(X) Ф 0, то существует единственное непрерывное на [a,b] решение <р(х) уравнения (3), которое определяется формулой (16).
Случай 2°. Пусть теперь Я является характеристическим числом ядра K(x,t), т.е. в этом случае определитель системы (7) ?)(Л) = 0. Тогда, как
известно из курса алгебры, система п линейных однородных уравнений с п
неизвестными
с(. - kyCj = 0, i = 1, п , (17)
j=1
и союзная (сопряженная) с ней система
с(. - Л]Г = 0, i = 1, п , (18)
i=1
имеют одинаковое число р = п-г линейно независимых решений, где г - ранг
матрицы (ky), i,j = l,n.
Пусть ст = {с\т), , ... , с(пт)}, т=\,р, - линейно независимые
наборы решений системы (17). Тогда функции
^W = Zc,(")fli(4 т = \,р, (19)
i=i
будут ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения (10). Ненулевые решения (19) однородного интегрального уравнения (10) называются собственными функциями ядра K(x,t), отвечающими данному
характеристическому числу Я.
Общее решение однородного уравнения (10), отвечающее данному характеристическому числу Я, определяется как линейная комбинация решений
(19):
Po(*)=f>»P»(*)¦ (2°)
т=1
где ат - произвольные постоянные.
Определение 2. Ядро K*(x,t), получаемое из ядра K(x,t) уравнения (1) заменой х на t и t на х, называется союзным (сопряженным) с ядром K(x,t),m.e. К*(x,t) = K(t,x) .
Тогда интегральное уравнение
ъ
