Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Тогда функциональный ряд (9) мажорируется сходящимся числовым рядом типа (15). Следовательно, решение уравнения (11) определяется формулой
X
ф(х) = f(x) +Я\Я(х^,Я)/(t)dt, (18)
а
где R(x,t,X) определяется рядом (9), а в (9) повторные ядра Kn(x,t) задаются формулами (17).
Теорема 2. Если функции K(x,t) и f (х) непрерывны при a<t<x<b, то существует единственное непрерывное на \а,Ь\ решение <р(х)
интегрального уравнения (11) при всех ЯеС и оно определяется формулой
(18). Соответствующее (11) однородное интегральное уравнение (16) при любом ЯеС имеет только нулевое решение.
Теперь рассмотрим примеры на решение интегральных уравнений.
Пример 1. С помощью резольвенты решить интегральное уравнение Фредгольма второго рода
1
<р(х)~ Я ^xt(p(t)dt = f(x), (19)
о
где / (У) - заданная непрерывная на [0,1] функция.
Решение. В случае уравнения (19) K(x,t) = xt, а = 0, Ь = 1, max I K(x,t) I = max xt = 1. Тогда в силу теоремы 1 уравнение (19) при
0<г,?<1 1 1 0<x,t<\
|/1|<1 имеет единственное решение <р(х), которое можно найти по формуле
(10). Для этого найдем резольвенту R(x,t,A) как сумму ряда (9).
439
Последовательно вычислим повторные ядра:
K{(x,t) = K(x,t) = xt,
1 1 xt
K2(x,t) = $K(x,s)Kl(s,t)ds = jxsstds = —,
0 0 3
K3(x,t) = K2(s,t)ds - Jxs — ds ,
0 0 3 3
кпО,о = \K(X,s) ^(s,t)ds = ^,..
o -3
Подставляя Kn(x,t) в ряд (9), получим
Xxt Я2 Я"
-------1-T~Xt 4* ... Ч-
3 З2 3"
R(x,t,Pi) = xt + —— +—xt + ... +—xt + ,
1 ^ X t ii
= xt------ = -—Я <3. (20)
\~— 3-Я
3
Тогда в силу формулы (10) решение уравнения (19) имеет вид
<р{х) = /О) + Я J f^3xt dt = f(x) + ^?L J f(t)tdt. (21)
о 5~ A 5~ A о
Правая часть (21) имеет смысл при всех Я Ф 3 и если f(x) непрерывна на [0,1]. то ф(х) также непрерывна на [0,1]- Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция ф(х), определенная формулой (21), действительно является решением уравнения (19). Следовательно, формула (21) дает решение уравнения (19) при всех Хф 3. Но при этом нет гарантии того, что найдены все решения уравнения (19). Условие | Я | < 3 обеспечивает сходимость ряда (20) для резольвенты и гарантирует существование единственного решения уравнения (19) для всех таких Я. Заметим, что условие | Я j < 3 шире, чем
| Я | < 1. Это связано с тем, что в случае уравнения (19) повторные ядра
вычислены в явном виде.
Таким образом, уравнение (19) при всех Я Ф 3 имеет непрерывное на [0,1] решение, которое определяется формулой (21), и оно является
единственным при | Я | < 3.
Пример 2. Найти решение интегрального уравнения Вольтерра второго
рода
X
ф(х)~ Л\ех~‘ ф(t)dt = / (х) , (22)
0
где /(х) - непрерывная на промежутке [0, b] функция, b - любое положительное число.
440
Решение. Здесь ядро К (x,t) = ех ' и /(х) непрерывны при 0 <x,t<b, поэтому в силу теоремы 2 уравнение (22) при всех Я е С имеет единственное непрерывное на [О, Ь\ решение. Для построения решения найдем резольвенту данного ядра. Вычислим повторные ядра по формулам (17):
Кх(х, t) = K(x, t) = ех~',
X X
K2(x,t) = \К(х, s)Kx(s,t)ds = J ex~s es~‘ ds = ex~‘ (x-t),
Кг (.x,t)=jK (x, s) K2 (s, t) ds = J ем es-‘(s-t)ds = e
(x-t)2
2!
Kn (*» i)=\K (x,s) Kn-\ t)ds = e
t_, (x-t)
w-1
(и-1)!
Тогда резольвента определяется как сумма ряда
R (х, t, Я) — ех 1 + Л е
(x-t)
1!
+ Л2 е
t-i (x-t)2
2!
+
x-t(X-t)n
+ ... +Ле -----------------------------— + ... =
п\
11 Л(х-р | [Я(*-0Г | | [Л(х-0У |
1! 2!
п\
На основании формулы (18) найдем решение уравнения (22) ср(х) = /(х) + Л )ell+»™f(t)dt.
