Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Среди интегральных уравнений важное место занимают интегральные уравнения Вольтерра. Уравнение вида
y{x) + A\H(x,t)y{t)dt = f{x), (11)
а
где a<x<b, H(x,t) и f(x) - заданные, по крайней мере, непрерывные
функции, а А - произвольный числовой параметр, называется линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Интегральное уравнение (1) является примером интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В частности, когда f(x) = 0 уравнение (11) имеет вид
X
у(х) +A\H(x,t)y(t)dt = 0 , (12)
а
и оно называется однородным уравнением Вольтерра второго рода. Примером такого уравнения служит интегральное уравнение (2).
Если в интегральном уравнении (11) отсутствует слагаемое, содержащее неизвестную функцию вне интеграла, то оно называется интегральным
уравнением первого рода. В этом случае уравнение принимает вид
А\Н{х, t)y(t) dt = f(x), (13)
а
которое при определенных условиях сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Уравнение (3) является интегральным уравнением
вида (13), где A = l, H(x,t) = ех~‘, f(x) = x. Если продифференцируем
уравнение (3), то оно сведется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
у(х) + Jex 'y(t)dt = 1, xeR .
Отметим, что интегральные уравнения Вольтерра (11) - (13) можно рассматривать как частный случай соответствующих уравнений Фредгольма (8) - (10), если в них ядро K(x,t) определить следующим образом:
км = \н(хА х'
[0, t>x,
т.е. в заштрихованной половине квадрата K(x,t) (рис. 1) совпадает с ядром H(x,t) , а во второй половине тождественно равно нулю.
Рис.1
Если в уравнении (8) ядро K(x,t) имеет вид
\X-t\
где 0<а<1, Q(x,t) - непрерывная в квадрате a<x,t<b функция, то уравнение (8) называется уравнением со слабой особенностью. Оказывается путем равносильных преобразований интегральные уравнения со слабой особенностью сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма с непрерывным ядром.
Среди интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью особое место занимает следующее уравнение
L~){^=/(*)>Q<a<1- (14)
a(x-t)
которое называется уравнением Абеля. Абель свел обобщение механической задачи о таутохроне к интегральному уравнению (14) при а-1/2, решение которого построил в явном виде. Эта задача в историческом плане представляет первую задачу, которая привела к необходимости изучения интегральных уравнений. Из приведенных выше примеров уравнение (7) является уравнением Абеля с а = 1/2 и /(х) = sinx.
Основоположниками теории интегральных уравнений являются Вито
Вольтерра (1860 - 1940) и Ивар Фредгольм (1866 - 1927), а также Давид Гильберт (1862 - 1943) и Эрхард Шмидт (1876 - 1959). В дальнейшем мы изложим методы решения указанных выше классов интегральных уравнений.
§ 2. Интегральное уравнение Абеля
Впервые к необходимости решения интегрального уравнения пришел в 1823 г. Г. Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне. Задача Абеля состоит в следующем. Пусть материальная точка т под действием силы тяжести движется по кривой, лежащей в вертикальной плоскости (% ,rj). Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка т, начав свое движение без начальной скорости по кривой с высоты rj = х
достигла своего нижнего положения на оси ? (рис. 2) за время t = f0(x), где
/0 (х) - заданная функция.
Рис. 2
Как известно, величина скорости движущейся материальной точки без начальной скорости с высоты if = х определяется формулой
o = ^2g(x-?]) ,
где g - ускорение силы тяжести. Пусть /? = /? (rj) - угол наклона касательной к оси OS, . Тогда проекция скорости на ось Orj равна dr\
— = - о sin/? = -д/2g(x-r]) sin/? . dt
Откуда
dt - —
dij
I-------7.^7-
^j2g(x-Tj) sm/?
Интегрируя дифференциальное уравнение (1) no rj от 0 до х, найдем время t = t{x), нужное материальной точке на перемещение с высоты Т) = х до 77 = 0:
1 хс dr]
/.М = --к=Ь—. „¦
V2g ? yjx-Tj smр
(2)
Обозначив известную функцию -yf2gf0(x) через f(x), а искомую ------------------
sin 0(1])
через <р(т)), перепишем уравнение (2) в виде
