Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Существует, таким образом, большое число разнообразных функционалов, заданных на самых различных множествах объектов (как органических, так и неорганических), значения которых связаны уравнением вида
у = oucp.
1 Эта книга представляет собой классическое сочинение по аллометрии; читатель найдет в ней полезное обсуждение законов аллометрического роста н их отношения к другим проблемам биологии, а также ссылки на более раннюю литературу.
Фиг. 13.
Длина туловища} см
Фиг. 14
Выражаемую этим уравнением закономерность, систематическое изучение которой для организмов было впервые предпринято Гекели [44], называют законом гетерогонии или, иначе, законом неравномерного или аллометрического роста. Это единственный вид явной зависимости между функционалами, относящимися к биологическим объектам, который был подвергнут систематическому изучению. Как мы покажем в разд. 5.4, аллометрия оказывается тесно связанной с представлениями об оптимальностями эта”связь"может быть изучена с помощью теории, которая далее будет развита. В гл. 6 изучаются более общие соотношения между функционалами, и на основании принципа оптимальной конструкции делается ряд выводов, относящихся к этим более сложным ситуациям.
5.3. Обратная задача вариационного исчисления
В гл. 1 мы кратко описали основные вариационные принципы теоретической физики. Действительный ход рассуждений, связанных с открытием этих принципов, был обратным по отношению к той формальной последовательности выводов, которая приводилась в гл 2. Эти рассуждения были индуктивными: исследователи отправлялись от известного семейства траекторий и предполагали, что эти траектории являются стационарными кривыми для некоторого функционала, тогда как мы в гл. 2 считали, что первоначально задается оценочная функция (или, что то же самое, задается ядро этого функционала), а задача состоит в том, чтобы определить соответствующее семейство стационарных кривых. Искусство и проницательность таких ученых, как Ферма и Гамильтон, состояли именно в том, что они сумели построить соответствующие функционалы.
В чисто математических исследованиях также возникают подобные задачи. Так, например, если задано какое-то семейство кривых линий, лежащих на некоторой поверхности, то можно поставить задачу об определении такой «функции расстояния», по отношению к которой эти кривые являются геодезическими. Задачи такого типа вполне аналогичны тем проблемам, которые приходилось рассматривать Ферма или Гамильтону. В данном разделе как раз и будут развиты общие методы решения таких задач. Мы будем при этом следовать тому подходу, который был применен Дарбу [45] при исследовании сформулированной выше задачи о геодезических.
Приступая к исследованию этого вопроса, мы должны прежде всего четко сформулировать математическую постановку задачи. Как и всегда, лучше всего начать с эвристических рассуждений и ограничиться вначале наиболее простыми
ситуациями. Предположим, что имеется некоторое семейство функций у=у(х), и мы хотим найти функционал (оценочную функцию), выражающийся в виде интеграла
У(у)= jV(*, у, y')dx, (5.3)
для которого эти кривые служат экстремалями (стационарными кривыми). Задача сводится при этом к определению ядра F.
Вспомним теперь результаты, которые мы получили раньше при изучении вариационных задач: если функция F дана, то стационарные кривые функционала / представляют собой не что иное, как решения уравнения Эйлера вида
Ъ-МЪ)-*- (5'4>
Второе слагаемое, входящее в это уравнение, можно записать в развернутом виде, пользуясь известной формулой для вычисления полной производной:
й!ф _ йф I dty dy , дф dy'
dx дх dy dx dy’ dx ’
где —произвольная функция переменных х, у, у', для которой существуют частные производные, фигурирующие в этой
формуле. Полагая ^ = > находим, что
d / dF\ d®F . , №F . „ №F
dx l^dy' J~ дхду' ' У дуду’ ' У {д у')2 ’
и уравнение .Эйлера приобретает вид
dF d*F , д2F „ 02F
ду дхду> У дуду’ У (ду')2 •
Уравнение (5.5)-—это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее неизвестную функцию у(х). Поэтому общее решение этого уравнения должно зависеть от двух произвольных постоянных, и соответствующие интегральные кривые, являющиеся стационарными кривыми для /, образуют некоторое двухпараметрическое семейство, уравнение которого можно записать в виде
у = у(х, а, р), (5.6)
где а, р — упомянутые произвольные параметры. Следовательно, мы должны предположить, что заданное первоначально семейство функций представляет собой некоторое двухпараметрическое семейство вида (5.6).
Надо отметить, что если задано двухпараметрическое семейство функций, то можно, вообще говоря, найти такое дифференциальное уравнение второго порядка вида
