Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
29. Для лучшего усвоения метода возьмем пример несколько более сложный,
но типичный для случаев определения регресии непосредственно по ряду
коррелирующих значений х и у. У 20 взрослых людей изучали рост (длину
туловища) х (в см) и вес тела у (в кг). Так как числа отдельных измерений
довольно большие, для облегчения вычислений можно прибег-
154
нуть к приему, носящему название кодирования (о нем говорилось на стр.
45-46). Для этого уменьшим все значения на 160, а значения "/< на 50.
Закодированные числа х' и у' записаны в графах 3 и 4 табл. 32. С ними,
очевидно, будет легче получить данные последних двух граф таблицы, нужные
для вычисления коэффициента регрессии по формуле (61). Тогда
5330 - 260 1 359
и - 20 663 1 ЕЛ
в,Х 3822 260|_ " 442 -1'50-
20
Закодированные средние Р = 13 и у' = 17,95. Следовательно, истинные
средние равны:
х = 160 + 13 = 173 см; у = 50+ 17,95 = 67,35 кг.
Уравнение регрессии можно записать по общей формуле (55а):
"/ = 67,95+1,50 (х-173).
Достоверность линии регрессии и коэффициента регрессии.
Подобно коэффициенту корреляции и ряду других статистических показателей,
коэффициент регрессии всегда определяется на основе выборочной
совокупности. Значит, он является выборочным показателем, само же
конкретное уравнение регрессии также может быть названо выборочным.
Уравнение истинной линии регрессии будет выглядеть следующим образом: у =
а + $х.
Параметры а и Ь выборочного уравнения регрессии служат для оценки
истинных значений а и р, т. е. их значений в генеральной совокупности.
Нулевой гипотезой является отсутствие связи, т. е. признание того, что
коэффициент регрессии не отличается от нуля. Для того чтобы иметь право
отбросить нулевую гипотезу, необходимо установить достаточную
достоверность Ь, что может быть сделано
путем сопоставления Ь с его ошибкой sb (t = -При достоверности b можно по
величине ошибки sb оценить и степень близости b к р.
Поскольку в определении линии регрессии участвуют два параметра а и Ь,
следует отдельно рассмотреть, как могут они варьировать в выборочных
совокупностях, взятых из одной и той же генеральной совокупности.
Теоретическая линия регрессии обычно расположена под большим или меньшим
углом по отношению к оси абсцисс. Этот угол определяется величиной Ь. В
геометрическом смысле Ь есть тангенс угла между линией регрессии и осью
абсцисс (или ординат- если рассматривать вторую линию регрессии). При
отсутствии регрессии b = 0, и тогда линия регрессии у по х должна идти
горизонтально по отношению к оси абсцисс, а линия регрессии х по у -
вертикально. Место их пересечения соответствует средним
J55
Х[ Ху Ху Ху х$ . к
Рис. 16. Доверительные границы для выбороч ной линии регрессии АВ.
значениям обоих признаков. Таким образом, каждая линия регрессии
обязательно пройдет через точку К (рис. 16), координаты которой х, у. Это
важно для понимания возможной колеблемости линии регрессии. Так как Ь
имеет ошибку sb, то, очевидно, значения выборочных Ь могут находиться в
границах, определяемых этой ошибкой. Это значит, что угол наклона линии
регрессии может быть или большим, или меньшим. Как показано на рис. 16,
линия регрессии АВ пересекает точку К и имеет угол наклона по отношению к
горизонтали ВКК\. Но истинная линия регрессий заключена внутри пары
углов, образованных пересечением линий AtBi и АцВц. Если углы ВгК и В2К
построены по верхней и нижней границам Ь с учетом только одной ошибки, то
вероятность нахождения истинной линии регрессии в этих границах равна
0,68.
Однако уравнение регрессии имеет еще свободный член а. Он определяет
величину отрезка, отсекаемого на оси у линией регрессии АВ. Величина а
также имеет свои границы колеблемости, поэтому линия регрессии при том же
значении Ь, т. е. при том же угле наклона ее к оси абсцисс, может
проходить или несколько ниже линии АВ, или несколько выше. Так как надо
учитывать оба параметра уравнения регрессии, то установление
доверительных границ для линии регрессии не так просто. В общем можно
считать, что границы доверительного интервала представляют собой Кривые
линии типа гипербол (линии MN а ОР на рис. 16). Это значит, что по мере
отдаления от средней точки (х, у) они расширяются. Крайние точки, по
которым строится линия регрессии, обладают большей ошибкой.
Однако при проведении специальных опытов можно добиться достаточно
больших п на всех частях интервала изменений х
J56
(или соответственно у) и принять, что дисперсия отдельных значений у (или
х) будет примерно одинаковой на всех частях интервала. В таком случае
можно применять сравнительно простые методы для оценки достоверности
коэффициента и линии регрессии.*
Основой для определения возможной вариации линии регрессии является сумма
квадратов отклонений фактических значений
У[ от вычисленных теоретически yt по тем же значениям ряда х. Так, если
использовать приведенные выше данные о связи поглощенного кислорода с
температурой внешней среды, то можно составить следующую таблицу для
