Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
2. Если математическое ожидание амплитуд импульсов равно нулю, то даже при условии периодического характера их следования будет отсутствовать дискретная составляющая спектра.
3. Если дисперсия случайных амплитуд импульсов равна нулю, то будет отсутствовать непрерывная составляющая спектра.
Вышеприведенный результат можно проиллюстрировать на примере последовательности прямоугольных импульсов со случайными амплитудами. Пусть огибающая каждого элементарного (единичного) импульса описывается функцией
( 1 при —0,01 0,01,
Ш = I
| 0 при других t,
и пусть период повторения импульсов составляет 0,1 с, а амплитуды этих импульсов являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными в интервале [0, 12]. Пер-
вый этап решения этой задачи заключается в определении преобразования Фурье огибающей элементарного импульса:
0,01
F (со) = [ (1) ехр [—/со/] dt = 0,02 (sin 0,01 со/0,01 со).
—о *01
Далее необходимо определить математическое ожидание и дисперсию случайных амплитуд. Так как амплитуды распределены равномерно, то эти статистические характеристики соответственно равны
7(1/2) (0+ 12) = 6, cry = (1/12) (12 — О)2 = 12.
Теперь из (7.25) можно определить искомую спектральную плотность
5*(ш)= 0-02
, sin 0,01 CD “I 2 0,01O)
12
0,01
2п (6)2 0,012
sin 0,01 оо
0,01 со
]2 0,48 + 904 ^ б (со-200пп)
Отсюда видно, что спектральная плотность содержит как непрерывную составляющую, так и бесконечное число дискретных частотных компонент.
Еще одно свойство спектральной плотности относится к случаю дифференцирования случайного процесса. Предположим, что X (/) = dX (t)/dt, а X (t) имеет спектральную плотность, определяемую в соответствии с выражением
SxH-Hm
2 т
Ограниченный во времени (усеченный) процесс Хт (/) будет иметь преобразование Фурье вида ja>Fx (со) наряду с дополнительными компонентами в виде двух постоянных, обусловленных наличием разрывов процесса при t = +Т и стремящихся в пределе к нулю. Следовательно, спектральная плотность производной X (/) случайного процесса X (/) равна
Sk (со) = lim Е[\ 1*рх(*)1-Мрх<-
<о)1]
= со2 lim
Т ->оо
I2]
2 Т
= a2Sx(co). (7.26)
Таким образом, в результате дифференцирования формируется новый случайный процесс, спектральная плотность которого в ш2 раз отличается от спектральной плотности исходного процесса. В связи с этим следует отметить, что если Sx (со) отлична
от нуля при со = 0, то Sу, (со) = 0 при со = 0. Кроме того, если Sx (w) убывает не быстрее функции 1/со2 при со -> оо, то при больших со спектральная плотность Sх (со) стремится к постоянному значению, а средний квадрат производной случайного процесса становится бесконечно большим. Этот случай соответствует недифференцируемому случайному процессу.
Упражнение 7.3.1. Стационарный случайный процесс X (t) имеет спектральную плотность вида
Sx (со) = 8яб (со) + Збяб (о — 16) + Збяб (о + 16).
а) Перечислить частоты всех составляющих данного процесса.
б) Определить математическое ожидание процесса X (t).
в) Определить дисперсию этого случайного процесса.
Ответы: 0, ±2, ±16, 36.
Упражнение 7.3.2. Случайный процесс представляет собой последовательность прямоугольных импульсов, имеющих длительность 1 мс и период следования 5 мс. Амплитуды импульсов являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными в интервале [А, В]. Для каждого из следующих значений пар величин А и В определить, имеет ли спектральная плотность: только непрерывную составляющую, только дискретные составляющие, обе из этих компонент, ни одной из этих компонент, при
а) А = — 5, В = 5, б) А = 5, В = 15, в) А = 8, В = 8, г) А = 0, В = 8.
Ответы: обе компоненты; ни одной из этих компонент; только дискретную составляющую; только непрерывную составляющую.
7.4. Спектральная плотность и плоскость комплексных чисел
До сих пор спектральная плотность выражалась как функция вещественной угловой частоты со. Однако в приложениях к анализу систем часто оказывается более удобным выражать ее через комплексную частоту s, так как именно такое представление передаточных функций линейных систем является более рациональным. Подобная замена может быть осуществлена простой подстановкой s вместо /со. Следовательно, вид спектральной плотности относительно оси /со плоскости комплексных частот сохраняется.
