Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Определенную выше спектральную плотность иногда называют двусторонней спектральной плотностью, так как она существует как для положительных, так и для отрицательных значений частоты со. Ряд авторов предпочитает пользоваться понятием односторонней спектральной плотности, которая обычно выражается как функция аргумента / = со/2я и существует только для положительных значений /. Если обозначить одностороннюю спектральную плотность через Gx (/), то средний квадрат случайного процесса будет определяться выражением
Так как односторонняя спектральная плотность определена только для положительных частот, справедливо соотношение, связывающее ее с двусторонней спектральной плотностью:
Хотя как односторонняя, так и двусторонняя спектральные плотности широко используются в научно-технической литературе, в интересах соблюдения логики изложения материала в дальнейшем мы будем пользоваться только понятием двусторонней спектральной плотности. Однако читатель должен помнить, что в других источниках может использоваться любое из этих двух понятий, и при этом важно знать, какое именно.
Приведенный выше анализ спектральной плотности выполнен более детально, чем это принято в рамках вводного рассмотрения. Причина этого заключается в попытке избежать трудности чисто математической трактовки, которые можно не заметить при более поверхностном анализе. Несомненно, данный подход вызывает дополнительные трудности у читателя на начальном этапе изучения спектральной плотности, но представляется, что более высокая степень строгости изложения заслуживает и дополнительных усилий в освоении материала. Более того, если даже не все аспекты рассматриваемого материала поняты достаточно глубоко, это должно натолкнуть читателя на мысль о существовании ряда менее очевидных трудностей в методах анализа в частотной области.
Другой подход к изучению и анализу спектральной плотности, определяемой через корреляционную функцию, дается в разд. 7.6. С точки зрения практического применения спектраль-
ОО
(7.12)
о
(7.13)
ной плотности такое определение, вероятно, является более продуктивным по сравнению с приведенным выше подходом и проще для понимания. Однако при этом не столь очевидной оказывается физическая интерпретация спектральной плотности.
Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению свойств спектральной плотности, следует отметить, что при анализе систем спектральная плотность случайного процесса на входе системы играет ту же роль, что и соответствующее преобразование неслучайного сигнала. Основное различие заключается в том, что спектральная плотность представляет собой плотность мощности, а не плотность напряжения. Таким образом, для статистического анализа систем необходимо определить их передаточную функцию не по напряжению, а по мощности.
Упражнение 7.2.1. Стационарный случайный процесс X (() имеет двустороннюю спектральную плотность вида
Определить средний квадрат значений этого процесса, если а а = 0 и > = 2, б) а = 2 и Ь = 3.
Ответы: 16, 32.
Упражнение 7.2.2. Стационарный случайный процесс имеет двустороннюю спектральную плотность вида
Определить:
а) среднюю мощность этого случайного процесса, рассеиваемую на резисторе сопротивлением 1 Ом,
б) среднюю мощность, рассеиваемую на резисторе сопротивлением 1 Ом, при изменении частоты со в диапазоне от —4 до 4.
Ответы: 2, 4.
Большинство важных свойств спектральной плотности можно кратко охарактеризовать так: Sx (со) есть вещественная, положительная, четная функция частоты со. Из анализа преобразования Фурье известно, что его модуль — величина вещественная и положительная. Следовательно, этими же свойствами будет также обладать и математическое ожидание этой функции.
Отдельный класс спектральных плотностей, нашедших более широкое применение, нежели другие, объединяет рациональные функции, называемые так потому, что они представляют собой отношение полиномов. Так как спектральная плотность является четной функцией частоты со, эти полиномы состоят из компонент только четных степеней со, а именно
SX (®) = {
16я, а^|о)|<Ь,
О для всех других со,
Sx (со) = 32/ (о2 +16).
7.3. Свойства спектральной плотности
Если значение среднего квадрата случайного процесса X (t) конечно, то в соответствии с (7.11) площадь под кривой Sx (со) также должна быть ограниченной величиной. В данном случае необходимо, чтобы выполнялось условие m >• п. В дальнейшем всегда будет подразумеваться выполнение этого условия, за исключением случая белого шума, являющегося специфическим вариантом случайного процесса. Термин «белый шум» используется для случайного процесса, спектральная плотность которого постоянна для всех со, т. е. Sx (оу) - S0. Хотя такой процесс физически не может существовать (так как его средний квадрат равен бесконечности), он является удобной математической моделью, в значительной степени упрощающей многие вычисления, которые в ряде случаев оказываются весьма затруднительными. Обоснование правомерности и иллюстрация применения данного подхода (с использованием белого шума) более подробно приводятся ниже.
