Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
функции по главным значениям тензорного аргумента.
Приведем еще формулы дифференцирования главных инвариантов симметричного
тензора X второго ранга
Ii. X = Е, ь, х = Е tr X - Хт, 1з, X = (XL)T. (6.(111)
О/ /V /ч/ IV IV IV "V гч/
•§ 6. Тензорные поля
В евклидовом точечном пространстве [2] положение точки можно задать
радиусом-вектором R=Xkik, где Хк - декартовы
¦4 А
координаты, ik - орты координатных линий.
->
Тензорным полем P(R) называется отображение, ставящее
/V
ш соответствие каждой точке из некоторой области точечногс -евклидова
пространства тензор Р произвольного ранга. Тензор F-
"-• -+• <v
можно считать либо функцией радиуса-вектора R, либо функ цией декартовых
координат Хк-
Если существует такой тензор VP, что для любого вектора /
/V
выполняется соотношение . у.,. -(Ца
а - vP= ~г~ P(R+ аа) I (6Л)
<v ОП /Ч/
то тензор VP называется градиентом тензорного поля в точке R
/V
Очевидно, что ранг тензора VP на единицу больше ранга тек
гч/
.зора Р.
л/
Если тензор'йое поле рассматривается как функция декартов •вых координат,
то соотношение (6.1) запишется следующим об разом: .
*. л др - - др
1к ¦ (vP) = ~r~ P(XS + а as) | и=о-as--- = ак ik • i, ---. ~
On <v (/Xg uXg
В силу произвольности вектора а получаем ' -*¦ дР дР_ . -*-*¦ -*
• Обозначив вектор а через dR, можно записать (6.1) в дифференциальных
обозначениях
d Р - dR • vP. (6.3)
Дифференциал (линейная часть приращения) тензора при
смещении из данной точки пространства в соседнюю равен про-
**"•
изведению вектора смещения dR на градиент этого тензора в данной точке.
Непрерывно дифференцируемые функции декартовых координат QB(Xb Х2, Хэ)
(s=l, 2, 3) называются криволинейными координатами в трехмерном точечном
евклидовом пространстве, если якобиан |idQB/dXk| отличен от нуля во всех
точках, за исключением нескольких особых.
Определим векторный базис формулой
Rs = V 0s = (<? 0s I <?Xk)Tk. (6.4)
Найдем базис, взаимный к RB, т. е. удовлетворяющий соотно-
шению RB-Rm=6m. Решение последнего уравнения ищем в ви-'
де Rm=Amik. Учитывая (6.4), получим (dQa/dXm)A(tm)=6\.
Отсюда следует, что матрица А "есть матрица частных производных обратных
функций Xk(QB):
А" - (дХт I <?Q*). (6.5)
Из (6.5) имеем
Rm = (dXJdQ") С = dRIdQ(tm). (6.6)
-> •
Векторные базисы Rm и Rk называются естественными базисами,
соответствующими данным криволинейным координатам.
Из (6.6) следует, что вектор Rm направлен в каждой точке по касательной к
координатной линии, вдоль которой изменяется координата Qm.
-*•
В отличие от естественного базиса декартовых координат ik -*¦ ->
векторные базисы Rm, Rk - переменные, они меняются при переходе от одной
трчки пространства к другой. Для вычисления градиентов тензорных полей
необходимо знание производных ба-
зиеных векторов по координатам.-Так как, dRm/dQ8 есть ;вектор, его можно
разложить по базису Rm:
aRm/dQ*_r^R" Г^, = г;". (6.7)
Величины Г*,, называются символами Кристоффеля второго рода. Они могут
быть выражены через метрические коэффициенты Gkm=Rk-Rm, Gmk=Rk-Rm и их
производные: : >
pr _ * Grm (^^SSL 4- dGtm dQst Л
st 2 [ dQ* dQ* dQm)' ,
Выражения) производных векторов взаимного базиса имеют вид
<?Rk/<?Qm = - Гк s R5.' (6.9)
При замене координат по формулам Qm'=Qm'(Q1, Q2, Q3)
¦ естественные векторные базисы преобразуются по формулам -(1.5)-(1.7),
при этом А"' =dQB-' fdQm.
Рассмотрим представление градиента тензорного поля в криволинейных
координатах. Согласно (6.2), (6.4) имеем
(б-1о>
Получаем следующее представление символического вектора V (набла-
оператор) в криволинейных координатах:
V =1 д I dXs = Rk<? I дХк. (6.111)
При. вычислении производных по координатам от тензора Р=РШ-tRm Rt следует
помнить, что от координат зависят не
/V -> -*¦
только компоненты Р"но и векторы Rm,... Rt- В частности,
-> -*¦
для векторного поля a(R) с помощью (6.7) получим
v а = R9 (*тRm) = Vs Ят Rs Rm, (6ЛЙ)
' " Vsam = damldQs +T%a\
Vs называется символом ковариантной производной [44, 45].; г- Для
тензорного поля второго ранга.аналогично имеем,,;.
U
vP = VrPskRrRsRk, V, Psk == dPskldQr -f Г*г P"k + Г^гР84. (6.13)
Кроме градиента тензорного поля часто используются дивергенция тензора
V-P = tr(vP) = Rk- (оРIdQk) (6.14)
~ (1"2) ~ ~
и ротор тензора
V X Р = Rk X (дР /dQk). (6.15)
r*J r*J
Для любого дважды дифференцируемого тензорного поля (произвольного ранга)
справедливы тождества
vX(vP) = 0, v(V'XP" = 0. (6.16)
Л/ ' /V
Пусть в некоторой области пространства, занимающей объем V и ограниченной
кусочно-гладкой замкнутой поверхностью О, задано непрерывно
дифференцируемое тензорное поле Р любого
ранга. Тогда справедлива формула Остроградского - Гаусса
yPdV = Jj'NPdO. (6.|17)
О " "*¦
Здесь N - единичный вектор внешней нормали к поверхности О. Из (6.17), в
частности, следуют формулы
JJj V Р dV = JJ N • Р dO, fJJ vXPdV= JJ N X Р dO. ' (6:18)
V О V ~ о
Для непрерывно дифференцируемого вблизи кусочно-гладкой поверхности О,
опирающейся на замкнутый контур Г, тензорного поля Р (произвольного
