Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
произведения. Тензорное произведение двух евклидовых векторных
пространств Зт и Эп обозначается Эт<Х)Эп и представляет собой линейное
пространство, порождаемое тензорными (диадными) произведе-. ниями вектора
из Эт на вектор из Эп. Тензорное-произведение
векторов обозначается ар (аеЭт, реЭп) и обладает следующими свойствами:
(аа + pb)p== а(ар) + ИЬр),
а(ар + Й) = а (ар) -}- р (aq). (1.8)
Здесь а, р - произвольные вещественные числа. Как видно из (1.8),
тензорное произведение обладает обычными свойства-
4
Из (1.6), (1.7) получаем формулу преобразования компонент тензора при
изменении базиса
pmns- (i-11)
Тензоры вида abc.../ называются разложимыми. Очевидно, что произвольный
тензор есть линейная комбинация разложимых тензоров.
§ 2. Действия с тензорами
1) Так как пространство тензоров ранга р является линейным пространством,
в нем определены действия сложения и умножения на число. Если тензЬр
представлен свсСими компонентами в некотором базисе, то умножение его на
число сводится к умножению на это число всех компонент тензора. При
сложении двух тензоров одного ранга, представленных в одном и том же
базисе, соответствующие компоненты складываются.
2) Тензорное умножение тензоров из Тр на тензоры из'Тд. Результатом
является тензор ранга p + q:
Тензорное произведение произвольного йисла тензоров обладает свойством
ассоциативности.
3) Перестановкой <ti,j тензора называется линейная функция f: Tp-"-Tq,
определяемая сначала на разложимых тензорах и состоящая во взаимной
перестановке векторов, стоящих
на i-том и j-том местах. Например, (а b с d) = d b с а.
На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по
линейности. Для тензора второго ранга возможна только одна перестановка,
обозначаемая так:
4) Свертыванием (i, j) тензора называется линейная функция f: Тр -*¦ Тр-
2, определенная на разложимых тензорах формулой
ХеТр, YeT*, XYeTp+q, X = X"-S1m ... es,
(a b)T = b а, X = Xmn em en,
xt = xmnenem = X"m em e" (2jl)
4
я состоящая в скалярном перемножении вектора, занимающего i-тое место; на
вектор, занимающий j-тое место. По линейности операция свертывания
распространяется на произвольные тензоры. Свертывание уменьшает ранг
тензора на две единицы. Свертывание тензора второго ранга обозначается
просто tr, а скаляр trX называется следом тензора X
/V пи
tr X = Xmn em-e" = Xmngra" - Xmngmn = Xmm = X(tm)m. _ (2.2)
5) Простым умножением тензора X ранга р на тен-
пи
зор Y ранга q называется операция, состоящая в свертывании
пи
(р.'Р~М) тензора XY и обозначаемая X*Y. Другими словами,
пи пи пи пи
яростое умножение сводится к скалярному перемножению последних векторов в
разложении тензора X на первые векторы
пи
в разложении тензора Y. Ранг тензора X-Y равен p-f-q - 2. В
IV IV пи
частности, для тензоров второго ранга имеем
X • Y = Xtni Yran е1 е".
6) Косое умножение. Это действие имеет смысл только для тензоров,
построенных на основе трехмерного векторного пространства Эз. Как
известно, в Эз определено векторное про-
изведение векторов а X Ь. Косое умножение X X Y, где X е Тр,
IV пи пи
Y е Тч, приводит к тензору ранга р -}- q - 1 'Н состоит в векторном
пи
перемножении последних векторов в разложении тензора X на
IV
первые векторы в разложении тензора Y.
пи
7) Полное умножение. Пусть XеТр, YeTq, причем
IV IV
p^q. Полное умножение-операция, приводящая к тензору ран-га р - q и
состоящая в последовательности свертываний (P.P + q). (Р - 1, p-f-q-1),
... (р -q + 1, р + 1) тензора XY. .
IV IV
Эта операция обозначается знаком
X о Y = XMn,n...s у mn s е,... ej. (2.3)
пи пи
Если X и Y - тензоры* одинакового ранга, то XoY=Y°X,
причем X о Х^О, а Хо Х=0 тогда и только тогда, когда Х=0.
Следовательно, операция полного умножения тензоров в пространстве Тр
имеет свойства скалярного произведения. Таким образом, пространство Тр
можно рассматривать как векторное евклидово пространство размерности пр.
Для тензоров второго ранга верны соотношения
X о Y = tr (X • YT) = Y о X = Хт о YT. (2.4)
/\J fb* (N# ГЧ/ <4/ ЛЧ/ /SJ
Соотношение Y=Lo X, где XeTp, YeTq, LeTp+q, задает ли-
(V Л/ (V (V А" _ (V
нейную функцию Y=/(Х). Справедливо обратное утверждение:
Л/ Л/
любую линейную функцию /: TP->-Tq можно представить с помощью полного
умножения некоторого тензора ранга р + q на тензор X.
В частном случае линейного преобразования векторного про-•странства Эп в
себя имеем у = /(х) - L-x, LeT2.
N А/ ' г**
Таким образом, пространство тензоров второго ранга можно рассматривать
как пространство линейных операторов, преобразующих векторы в векторы.
Аналогично, пространство Т3 есть пространство линейных операторов,
переводящих векторы в тензоры второго ранга, и т" д.
Рассмотрим в Эп тождественное преобразование 7(х) = х. Реализующий это
преобразование тензор второго рднга называется единичным и обозначается
Е. Единичный тензор имеет еле-
(V
дующие эквивалентные представления:
E = ekek = ekek = gskesek = gskesek==TsTs. (2.6)
