Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
осях координат отрезки ОА', OB', ОС, двойные отношения отрезков равны:
О А ОВ ОС
т : п : р = - •-----• --, 1-27
У О А' О В' ОС' 1 '
где т, п, р - целые числа, в подавляющем большинстве случаев не
превышающие 5. Грани, для которых отношение (1.27) было бы
иррациональным, в кристаллах невозможны. Если отношения параметров целые,
но большие числа, то грань возможна, но маловероятна.
Для кристаллографии закон рациональности параметров Гаюи имеет такое же
значение, как для химии закон кратных отношений Дальтона,
32
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
согласно которому возможны не любые соединения химических элементов, а
лишь те, в которых элементы находятся в соотношениях целых чисел.
Хотя закон рациональности параметров был установлен только на основании
изучения внешних форм кристаллов и тогда, когда существовали только
догадки о структуре кристаллов, за четверть века до закона Дальтона, по
существу, он был первым количественным законом, определяющим атомно-
молекулярное строение вещества. В сущности, смысл этого закона сводится к
тому, что:
- грани кристалла всегда соответствуют плоским сеткам кристаллической
решетки;
- ребрам кристалла всегда соответствуют узловые ряды решетки.
Кроме того, реальные грани кристалла, как правило, должны образовываться
параллельно таким атомным плоскостям, для которых характерна наибольшая
ретикулярная плотность - наибольшее число атомов на единицу площади.
Ясно, что это объясняется тем фактом, что ослабление сил химической связи
тем больше, чем больше расстояние между атомами, а грани со слабым
взаимодействием атомов, очевидно, существовать не могут. Известно, что
ретикулярная плотность обратно пропорциональна величине индексов Миллера
грани, чем и объясняется то, что индексы грани должны быть не только
целыми, но и малыми числами.
Закон рациональности параметров действует, даже если оси координат,
выбранные по ребрам кристаллического многогранника, не соответствуют
ребрам элементарной ячейки. Все равно эти ребра должны быть параллельны
каким-либо рядам точек в решетке, а расстояние между ними неизбежно
делится на равные отрезки системами параллельных плоскостей, которым
параллельна всякая грань кристалла.
Из (1-24) следует, что вектор п нормали к плоскости является вектором
обратной решетки. Его длина обратна величине меж-плоскостного расстояния
системы параллельных кристаллографических плоскостей. Тогда
межплоскостное расстояние можно вычислить так:
где /г, /г, I - индексы Миллера. Раскроем в (1.28) подкоренное выражение:
|/ibj + kb2 + /Ьз|2 =
= + + + Щ + = h2(b*1)2 + k2(b*2)2 +
l2(b*3)2 +
1
(1.28)
+ 2lkb*2b*3 cos а* + 2lhb\b*3 cos /Г + 2hkb\b*2 cos 7*. (1.29)
Модули векторов обратной решетки и углы между ними могут быть вычислены
через модули векторов прямой решетки и углы между
1.7. Простые пространственные структуры
33
базисными векторами:
lb? I = -a203sina, IbSl = -<21123 sin/3, IbSl = - <2i<22sin7,
V V V
cos 7 • cos 3 - cos a ^ cos a ¦ cos 7 - cos 3
cos a = ------;^ .-------, cos/3* = -------;-----Ц-------,
sin /3 • sin 7 sin a • sin 7
* cos a • cos/3 - cos 7
COS7 = -------:--------------. 1.30
sin a ¦ sin /3
Общие формулы (1.28)-(1.30) пригодны для триклинной сингонии, для
кристаллов с более высокой симметрией они упрощаются. Так, для кубической
сингонии можно получить:
dhkl = -/ = /
^{h2 + k2 + 12){Ъ*)2 V/i2 + А;2 + /2 v 7
Объем элементарной ячейки триклинной сингонии легко определить с помощью
смешанного произведения базисных векторов прямой решетки:
v = ai[a2,a3] =
= 010203^1 - cos2 a - cos2 /3 - cos2 7 + 2 cos a cos /3 cos 7.
(1.32)
1.7. Простые пространственные структуры
Ранее было показано, что трехмерная периодическая структура может быть
реализована трансляционным размножением примитивной ячейки векторами
элементарных трансляций aj, а2 и а3 (рис. 1.2). В физике твердого тела
могут быть использованы также элементарные ячейки другого типа,
позволяющие описать прямую кристаллическую решетку: условная (или
элементарная ячейка решетки Бравэ) и ячейка Вигнера-Зейтца.
На рис. 1.12 изображены условные и примитивные ячейки для простой,
гранецентрированной (ГЦК) и объемноцентрированной (ОЦК) кубических
решеток. В случае простой кубической решетки векторы элементарных
трансляций совпадают с ребрами куба, и два типа ячеек идентичны. Для ГЦК
решетки векторы aj, а2 и а3 следует выбирать так, чтобы с помощью
задаваемых ими трансляций можно было получить не только узлы в вершинах
куба условной ячейки, но и центры граней. Единственным образом этому
требованию, а также правилам выбора примитивной ячейки (по определению,
такая ячейка содержит узлы только в вершинах) удовлетворяют векторы,
проведенные из вершины куба в центры ближайших граней. Выполнение
названных требований в ОЦК
34
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
структуре приводит к векторам, проведенным из центра в вершины куба, как
это показано на рис. 1.12.
Широко применяемая ячейка Вигнера-Зейтца строится следующим образом. Узел
