Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
w = тс2 /h2 + Зти2
или
тс2Ih2 = w(l - Зти). Тогда погрешность, которая допускается при пренебрежении членом Зти2
174 в уравнении (17.16), равна
Зти2 Зти2 Зти
тс2/h2 и( 1 - Зти) 1 - Зти
Для Меркурия г ~ 6-Ю7 км, для других планет г = \ ju> 6 • IO7 км. Для Солнца т = 1,48 км. Значит, Зти<%-10~7, следовательно, Зти/(1 - 3mw) ^Зти. Таким образом, Зти/ (тс2 /h2) < IO"7.
Итак, в первом приближении действительно можно пренебречь вторым членом в правой части уравнения (17.16) по сравнению с первым членом. Поэтому в качестве уравнения для первого приближения релятивистского уравнения (17.16) можно взять нерелятивистское уравнение (17.14). Таким образом, в первом приближении
d2u і тс2
+ w1 =-
V 1 H2 '
где u1 - решение уравнения (17.16) в первом приближении, причем w1 = тс2
= —— [1 +ecos(<? — ^o)]> здесь эксцентриситет є и долгота перигелия h
Фо — постоянные интегрирования.
Поскольку Зти2 < mc2/h2, то во втором приближении полагаем, что второй член в правой части уравнения (17.16) равен Зти2. Таким образом, для второго приближения получим уравнение
J2w2 тс2
TT = ~7Т~ +3mui >
dsp2 й
или
J2W2 тс2 т2с4
T— +"2 = TT *3т T— П +6cos(^-^o)]2.
dsp h? hr
Поскольку
[1+6 COS(<? - Sp0)]2 = 1 + 2е cos (sp - sp0) + е2COS2(sp - ф0) = = 1 + 2 е C0S(<? - sp0) + 1A є2 + е2 COS 2(<Р - ^o)> то последнее уравнение можно представить в виде J2M2 тс2 Г / е2\ т2с2
dsp
тс2 Г / е2\
6т2с2 3 т2с2 2
+ ecos(^-^o)+ - —— е cos — ^o)
Л 2 /г
Эксцентриситет планетных орбит мал, т.е. эти орбиты почти круговые, поэтому тс2/h2 ^w; для круговых орбит это равенство точное. Следовательно, т2с2/h2 Aти< 1A- IO"7. Поскольку для планетных орбит е < 1, то 3(1+? е2) <9/2, поэтому 3(1 + є2) m2c2/h2 < IO"7. Пренебрегая членом 3(1 + 1A е2) т2с2Ih2 в правой части последнего уравнения, можно
175 написать
Ci2U2 тс2 6 т3с4 3 т3с4
—— +W2 =-— + —-ecos(^-^o)+ --77 е cos 2(<р — <р0).
сіф hr Ъг 2 Ъг
Обший интеграл этого уравнения имеет вид тс2
U2 =—— [1 +ecos(^-^o)] +
п
Зт3с4 1 Ytx3C4 , + —-— e^sin(^-^o)- 7— Є2 cos 2(#- ^0). (17.17)
hr 2 h4
В решении второго приближения по сравнению с решением первого приближения появились два добавочных члена. Поскольку \р растет с течением времени, то первым добавочным членом пренебрегать нельзя, он является вековым членом, а второй член - периодический. Можно ли пренебречь вторым добавочным членом? Для ответа на этот вопрос оценим его:
1 т3с4 _ тс2 1 т2с2 „
- —т— є • -г- = - —;— є < 10 .
2 h4 h2 2 h2
Таким образом, вторым добавочным членом можно пренебречь и решение второго приближения можно представить в виде
U^u2 = —— [1 + е COS - Io)] + ' e^sin(^-^o)
тс2
тс2 _ 3т3с4
J2
(17.18)
1 +е
Зт2с2
cos (\р- ^0)+ —-і— ур sin (^ — ^o)
}
Будем рассматривать движение планет на таких интервалах времени, для которых \р становится не очень большим, заметив, что для одного оборота кр изменяется на 2я. Если <р не очень велико, то (Зт2C2Ih2) ^p < тогда Sinfi^0 % ^0» cos б^о % гДе 110 обозначению Ь<р0 = = (3т2с2Ih2) у. При этом
cos (\р — кро — Ьфо) = cos — ^o)cos + sin — <ро) sin % « cos - ^0 ) + sin (ур - Vo)'
Введем обозначение ^0 = Фо + Тогда выражение (17.18) для и, т.е. решение нашей задачи во втором приближении, может быть записано так:
тс2
и = —г [1+е cos (^-^0)]. (17.19)
h
Таким образом, решение задачи о движении планет (пробных частиц) в поле тяготения Солнца (центрального тела) в релятивистском случае записывается так же, как и в нерелятивистском случае, но в выражении (17.19) для релятивистского решения ^0, в отличие от нерелятивистского случая, уже не является постоянной величиной. Поэтому в релятивистском случае движение планет можно рассматривать как движение по эллипти-
176 ческой орбите, долгота перигелия ^0 которой меняется с течением времени. На самом деле движение не является эллиптическим, движение происходит по розетке, но его можно описывать как эллиптическое движение, когда эллипс поворачивается с течением времени.
Естественно возникает вопрос: как сильно эллипс поворачивается? С какой скоростью растет долгота перигелия эллипса? Вычислим измене-
Зт2с2
НИЄ ДОЛГОТЫ ПерИГеЛИЯ С Течением Времени. ИЗ СООТНОШеНИЯ Syp0 = ——— ур
видно, что долгота перигелия изменяется пропорционально ур. Согласно (17.10) интеграл площадей в релятивистском случае имеет вид
h „ dyp
- = г2 — , A = IA,
с ds
а в нерелятивистском случае интеграл площадей записывается в виде А'-,*
dt
При малых скоростях ds2 = -с2dt2, и тогда, очевидно, h = Iri. Как известно, в ньютоновой теории тяготения существует связь между большой полуосью орбиты планеты и периодом ее обращения вокруг центрального тела — третий закон Кеплера, который может быть записан следующим образом:
TM = (2я/Г)2 а3.
Отсюда с учетом равенства т = уц/с2 имеем
mc/h= y?l(hc) = 4 ті2 a3 KchT2).
Величина h есть удвоенная секториальная скорость движения планеты, причем h = 2S/T. Пусть S — площадь, ограниченная орбитой, T — период обращения. Тогда
