Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Для ортометрического элементарного промежутка времени dr и ортометрической элементарной длины du имеем
cdr=- badxa, du2 = h?V°dx? °dxv = h?vdx ?dxv,
где °dxa = h^dx6 = dxa — b^cdr — ортометрическое обобщение дифференциалов координат. Для фиксированных точек ортометрического пространства находим °dxa = 0. Их координаты Xі, вообще говоря, зависят от X0. Для ортометрической скорости движущихся точек получаем
°dxa dxa
V0i= - =--Cba.
dr dr
Пусть
d?V = Vi(niibv+nvb?),
( bbv Эbu \
a?V = bv - Uvb?) = i/2 ^- ,
где Da - оператор четырехмерного ковариантного дифференцирования. Очевидно,
(d?v+a?v)bv = 0, d?vb?bv = 0, h?"d?v=dv.
Для ортометрического вектора гравитационно-инерциальной силы Fv, ортометрических тензоров угловой скорости вращения ортометрического
пространства Afiv, скоростей его деформации Dilv и D = Dv имеем Fv = - c2b?(d?V +(Iiiv) = - 2c2b?d?v = - 2c2b?a?v, Aiiv = chahvaa?, Diiv = ch"hvda?, Dilv +Aiiv = ch?(dav +aav), D = cdv.
Тождественное выполнение равенства Aiiv =Ob четырехмерной области необходимо и достаточно для существования систем координат, в которых при заданном поле монад всюду b{ = 0.
157 Пусть и 6 _ дискриминантные тензоры. Напомним, что
«хд,* =V=TlW в x^ = -J=T IIx^,
у-g
где и r^kilv* ~ совеРшенно антисимметричные единичные тензоры
четвертого ранга, причем т?0і2з =T?0123 = 1. Введем ортометрические дискриминацтные тензоры:
є= h* hfobx6Xe^ = Для объема V элементарного параллелепипеда, построенного на ортометри-ческихвекторах °dx[І), °dx(2), °dx[3), имеем
где °dS?va - совершенно антисимметричная часть произведения )°dX(2 (3) •
§ 15.2. Ортометрические операторы дифференцирования
Будем отмечать ортометрические (т.е. не нарушающие ортометрическо-го характера дифференцируемых величин) дифференциальные операторы так же, как и ортометрическое обобщение дифференциалов координат, -буквой "о". Перечислим ортометрические операторы, представляющие
собой обобщение одноименных XH- и КИ-операторов, для ортометрических р • • •
тензоров Qfl... . Операторы простого и ковариантного дифференцирования по координатам примем в виде
°эе;.'.У .е .„ ,.a ag/.'.V „.1Л
- =Au--Af-Zia-, (15.1)
Ж=hI- • • hI ¦¦¦ ^n0Qt::: = =- AillQ:::: -...+д:г QI ::: +.... < і s 2>
ох
где
^lv = hlh[hTor^ = hT* Afiut
Д -AWr - 1 Г 3^ °ЭМ
_ _ а
и Tef - обычные мировые символы Кристоффеля, Aijlv^ и AJ1; -ортометрические символы Кристоффеля.
158 Операторы простого и абсолютного дифференцирования по времени имеют вид
bt
= Chetl ¦ ¦ --VaOaQ!:::+Q^:: + ...- Qve:::u^~... >,
(15.3)
0VtQf.:: = Chl- • • Af • • • AffDaC/.'.'.' = °bOv'"
= _(/)r, _ + +^V;;.'; +... . (15.4)
Ot
В (15.3) ковариантные производные можно заменить простыми. Сохра-
°э °э
няя правило Лейбница, определим ортометрические операторы ^ а
также для ортометрических символов Кристоффеля:
+
-AL = сА> А " A« -+ Д~е---
dt ^ I bjcct ^e 3jcp
dbv ЪЪ* Ъ2Ъ*
+ aL- - д!і
рт? Эх6 ре Эх* ЪхрЪх€
ЪЪ* ъъ*
і / ъъ* ъъ* \\
Л*--»*I- (|5-5)
9д.а f M (5 <* I 9xa Ъха ^
ЗА, Bbt Г/dAa dbp \ 3Af
Ъх" Ъхр I \Эхр Ъх° / Эх6
ЭAe \ ЪЬК ( ЭА6 ЗАр \ 3Af
/ 3Aa ЭАе \ 3Ar / ЭА6 ЗАр \
V^7" + ~Ъх°/ + + IbF/ Зхс
(15.6)
при любом фиксированном к. В результате действия операторов (15.2)-(15.5) получаем ортометрические тензоры. Очевидно,
= о, 0VaA„„ =0, 0VaA^ = 0, 0VaA"" =0,
Эх
°VaeM„a = 0, 0Va^a=O, 0Vre^a = O, 0Vff=O,
= о, ° VfAjll, = 0, ° V,A* = 0, ° VrAmv = 0.
bt
159 Легко видеть, что
1 °bhuv .... 1 V
a, '
(15.7)
bt "" bt
При фиксированных векторах находим °bV/bt = DV.
Введем полные производные по времени. Ортометрическая полная производная по времени равна
dt Э t Ъха dr
Ковалентная ортометрическая полная производная по времени вычисляется по формуле
°dOv' '' °dxa
- H-KllQv;--- - - + KtQfr- + •••) -
dt V , dT
°bQvu. \ \ „ °dx°
ЭГ dr
Отметим также следующие тождества:
-jf- + - - 0VyFll) = 0, (15.8)
0V^yff + 0Vl^afi + 0Va^y + - (FixAva + FvAaix +FaAixv) = 0. (15.9)
с
Ковариантные производные в (15.8) и (15.9) можно заменить простыми. Левые части (15.8) и (15.9) связаны тождественными соотношениями. Далее
u^jia _ rv
dt
Cla =(° Vm - ^2 F^ 1% + (4 - ^2 F^Dl +^--F^Dilo.
Приведем основные коммутационные соотношения: оа 0? \
0Va- - — 0VJQ:.:: =
(
С
dt dt
і 0OQvu::.
— F —- -- + Ce Ov' " + rv пі- ¦
?2 bt lW У* - ¦ ¦ ¦ ¦ ~ cOiiQu- ¦ ¦ ¦ ¦'
°ъг °э2 \ „ і °bQvu::.
]o';::=—Fa , os.w)
dxadt dtdxa /-"••• Ci dt
160 \dxadx? dx?dxa )
2 °d??::: = -і -----------
c2 bt '
2 , ::
(15.11)
_ д€ д„ де ді;
" bx? - Ъха + A?aA?€ - ае.
Очевидно, ортометрический тензор. Соотношения (15.10),
(15.11) можно распространить и на нетензорные ортометрические величины, прежде всего на ортометрические символы Кристоффеля, принимая (15.10) и (15.11) за определения операторов. Пользуясь (15.10), получим тождество
V
??'
Введем
