Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
P = Po-J. (6.7.1)
При постоянной энтропии, и, в частности, при S = 0, как известно,
р__dJL-__дЛ__О* — — 02С2 ^pIL (6 7 2)
dV / 1 \ РоЗро pOc дро • • '
dYWt
Соответственно можно найти и скорость звука. Оказывается, скорость звука а8В (см., например, учебник Ландау и Лифшица, 1954)
* = (6-7-3)
В соответствии с тем, что есть две разные плотности, p и po, можно говорить о двух разных показателях адиабаты, в зависимости от того, рассматривается ли давление P как функция р или р0.
Проиллюстрируем соотношения на примере степенного (асимптотического при больших плотностях) закона: пусть
P = < (6-7.4)
*) Иногда удобно будет относить все величины к одному бариону или, что то же, к единице барионного заряда. 212 ХОЛОДНОЕ ВЕЩЕСТВО ![ГЛ. 6
Тогда по формулам (6.7.2) и (6.7.4) найдем
Р = ф-1) АфЬ = (6--1) с2р.- (6.7.5)
Итак, при асимптотическом законе любой показатель Ъ адиабаты по плотности массы покоя р0 приводит к показателю адиабаты, равному 1, для зависимости давления от плотности р. Находим, далее,
Язв = (•& — 1) с2. (6.7.6)
Уже отсюда видно, что релятивистское требование а|в С с2 приводит к ограничению Ъ 2 (ср. ниже § 12).
§ 8. Идеальный нейтронный газ при сверхвысокой плотности
В качестве первого приближения в пионерской работе Оц-пенгеймера и Волкова (1938) был рассмотрен нейтронный газ в предположении, что нейтроны никак не взаимодействуют между собой. Нейтроны являются фермионами; таким образом, вся теория вырожденного нейтронного газа оказывается подобной теории вырожденного электронного газа. Подобие это имеет место постольку, поскольку мы в качестве независимой переменной пользуемся плотностью частиц п или, что то же, плотностью покоя р0. В частности, связь ферми-импульса и п в точности совпадает для электронов и нейтронов:
з 3
о 4я pf pf /с* о л\
п = 2'Х(2ЩГ^-ЩГ- (6-8-1)
Найдем характерную плотность покоя, при которой происходит переход от нерелятивистского к релятивистскому нейтронному ферми-газу: условие *)
PF = Щс
дает
TnflC3
(Ро)с=з^ = 5,25.10" */см\
что гораздо больше плотности атомных ядер 2«10и г/см3),. Введем безразмерную плотность покоя
«і-* <6-8-2'
*) Мы здесь не различаем т0 (см. сноску на стр. 210) и массу нейтрона. Различие около 1% пренебрежимо мало по сравнению с влиянием других упрощающих предположений. § 8] ИДЕАЛЬНЫЙ НЕЙТРОННЫЙ ГАЗ 213
и безразмерный ферми-импульс
^ = —= Х1/з. (6.8.3)
JTiQC * 4 '
Имея в виду релятивистское выражение энергии нейтрона
En = Уту + C2Pi = TU0C* Yi +
легко получим выражения для плотности р и давления:
P = 3 (P0)eJ/! + q*q*dq
= 4-(Ро)с l(2<2 + 1)«У«« + -1 - In (« + У *» + 1)], (6.8.4)
= -|-(Ро)сс2[г У1+Г*(-Т -l) + ln(l + У^+Т)], (6.8.5)
Язв= TfcVWi' (6-8,6)
В частности, при 2 = 1, т. е. при, критической плотности покоя P0 = (р0)с, имеем P = 1,26 (р0)с, P = 0,154 (Po)cC2. Легко найти асимптотику при %->оо:
P = -I-(Po)^v'' Р = ^(Po)cCY'' = T-Pc2' я*0 = у= . (6-8.7)
Итак, в пределе р р0 массой покоя можно пренебречь. Идеальный ультрарелятивистский ферми-газ имеет скорость звука, асимптотически приближающуюся к
=0,58 с.
утг
Этот результат можно считать естественным, практически все частицы движутся со скоростью света, но по всем направлениям. Забегая вперед (уравнение состояния при высокой температуре см. в гл. 8), отметим, что для любого ультрарелятивистского газа асимптотически (а при нулевой массе покоя частиц, т. е. для нейтрино и квантов точно) имеют место соотношения
Р = ^рс2 = -~, азв = -yf • (6.8.8) 214
ХОЛОДНОЕ ВЕЩЕСТВО
