Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В рассматриваемом приближении частицы, которые на бесконечности изотропно распределены по направлениям скорости и имеют энергию, заключенную между E00 и E00 + AE, образуют микроканонический ансамбль. По теореме Лиувилля объем, приходящийся на одну частицу в фазовом пространстве, постоянен: АГ = 4я/г~1р2Ар. Учитывая, что E =р2 (r)/2m + ту (г)= const, AE = рАр/т = const, найдем, что АГ = 4я тгГ^рАЕ = const и
n = „ ' =noo,/l+^l. (12.2.5)
POO I/ ' ljOO
Таким образом, до некоторого радиуса г = гс, на котором кинетическая энергия частиц становится порядка их гравитационной энергии, плотность частиц практически не меняется, при г < гс имеем п со г"1/«. Всюду далее радиус гс мы будем называть «критическим радиусом».
Следует обратить внимание на то, что полученная нами формула не дает полного ответа на поставленный вопрос. Действительно, она относится лишь к частицам, пришедшим из бесконечности, т. е. обладающим E ]> 0. Однако в ситуации, когда столкновения полностью выключены, вокруг притягивающего центра может находиться неограниченное число частиц с E < 0. Речь идет о частицах, движущихся по эллиптическим орбитам: их плотность есть произвольная функция, никак не связанная с (12.2.5) и определяемая начальными условиями.
Задачу можно конкретизировать следующим образом. Введем Достаточно малое сечение взаимодействия частиц между собой 398 АККРЕЦИЯ ГАЗА НА РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ОБЪЕКТЫ [ГЛ. 12
а ф 0; тогда распределение частиц с E < 0 по эллиптическим орбитам станет однозначно определяться распределением частиц с Я > 0 на бесконечности. Совершая предельный переход б 0, получим вполне определенную функцию:
n(r,E<0) = noof (E00, Е).
Когда <3-^0, плотность частиц стремится к фиксированному пределу.
Отметим, что в пределе а ->- 0 для потока частиц мы найдем, разумее^с/г, прежнее выражение (12.2.2). При в ф 0 поток dM/dt есть растущая функция сечения, ибо столкновения гасят тангенциальные скорости частиц. Мы не будем, однако, искать эту зависимость для произвольного б, а обратимся сразу к противоположному предельному случаю очень больших сечений, когда газ можно рассматривать как сплошную среду (соответствующие критерии приведены в § 4). Уравнения газодинамики должны описывать при этом как аккрецию вещества на звезду, так и истечение со звезды.
§ 3. Четыре режима газодинамического течения в случае сферической симметрии
Будем характеризовать газ показателем адиабаты у = const плотностью р, давлением P и скоростью звука а = Выде
лим узкий конус с телесным углом dQ и запишем закон сохранения вещества (dS — поток в конусе dQ,A —йоток на единицу телесного угла, он конечен и не зависит от радиуса в стационарной задаче)
dS = pur4Q = const, u = , A=^L = , (12.3.1)
а также закон Бернулли, выражающий сохранение энергии:
consfc а А (12 3> 2)
Уравнение (12.3.2) предполагает отсутствие теплообмена, однако приближенно последний может быть учтен заданием подходящего у. Константа В определяется граничными условиями. В случае аккреции их удобно задать на бесконечности, где газ покоится:
в = тЬЇJ^; <12-3-3)
в случае истечения мы определим их у поверхности звезды при г = R:
R GM , uR , г pR М9ЧД\ ЧЕТЫРЕ РЕЖИМА ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
399
а еще лучше, на некоторой глубине, там, где известно, что и2 (г) мало. В плоскости а, и уравнение Бернулли дает семейство эллипсов:
T-I
а2 = В +
GM г
(12.3.5)
Сверхзвуковое /
/ Дозвуковое течение
а уравнение неразрывности — семейство гипербол дробной степени (Pi и щ произвольны):
А I Ч N2Ay-D
и = - <12-3-6>
Здесь использована адиабатическая связь плотности и скорости звука р = const а2/^"1). Для определения константы в случае аккреции используем условия на бесконечности і = оо; в случае истечения — в атмосфере звезды і = Д.
Гиперболы зависят еще от параметра .4, который определяется условиями, существующими вблизи поверхности звезды или «на бесконечности». Именно определение А является главной задачей теории. Из рис. 59 легко понять *), что при наличии двух точек пересечения сплошной и пунктирной-кривых нижняя точка пересечения соответствует дозвуковому режиму течения, а верхняя — сверхзвуковому. Касание пары кривых происходит обязательно на биссектрисе, где и = а. Наконец, если при данном выборе А и каких-то значениях г кривые вообще не пересекаются, значит А выбрано слишком большим и такой поток не реализуется. Исключая этот случай, имеем, в зависимости от A1 картины двух видов:
1) Кривые пересекаются дважды, выше биссектрисы и ниже биссектрисы, при' всех значениях г, за исключением одного, г= г81 где происходит касание кривых.
2) Кривые пересекаются дважды при всех без исключения г.
Каждой из этих картин соответствуют два режима течения.
Перечислим их, учитывая, что на бесконечности поток при аккреции обязательно дозвуковой (так как м-> 0), а при истечении — обязательно сверхзвуковой (так как а-^0).
Общая схема такова: задаемся константами А и В. В таком случае при каждом данном значении г имеем два уравнения
