Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
сти является > 0, иначе, взяв малое, но высокочастотное (т. е. часто колеблющееся, как функция г) 6г так, что (бг)2 мало, а (бг')2 велико, можно было бы получить 62Е < 0.
дР
Физическии смысл этого условия очевиден: вещество с < 0 неустойчиво при данном давлении, безотносительно к гравитации.
В учебниках вариационного исчисления [например, Гельфанд; Фомин,
дР
(1961)] доказывается, что при выполнении о необходимым и достаточным условием определенного знака второй вариации 62Е является непересечение соседних экстремалей* т. е. решений уравнений, получающихся из условия 6Е = 0. § 2І АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИ>ГРОПНЫХ ГА300ЫХ СІФЕР
279
Переводя эту теорему на язык рассматриваемой задачи, получаем следующее условие устойчивости звезды. Пусть г0 (т) есть равновесное решение, отвечающее полной массе M0; при этом на краю звезды, т. е. при т = M0, должно быть выполнено естественное условие Р = 0. Пусть T1 (т) есть решение, отвечающее другой массе M1, близкой к M0. Тогда решение устойчиво, если при всех т
ri (т) гр (m) ^
Mi — Mo <°- (Ю.1.4П)
Следовательно, для устойчивости нужно, чтобы при увеличении массы (M1 — M0 = А > 0), т. е. при добавлении массы А снаружи, каждый внутренний элемент массы приблизился к центру (Аг = T1 — г0 < 0).
Такое условие является весьма естественным и его можно рассматривать
дР
как некое обобщение условия -д— > 0. Объем звезды и каждой ее части дол-
0P п
жен уменьшаться при наложении внешнего давления. Вместе с тем важно отметить, что это условие получено не интуитивно, а является точным математическим утверждением, полное формальное доказательство которого дано, например, в указанном выше учебнике Гельфанда и Фомина.
При интегрировании уравнения равновесия удобно задаться плотностью в центре. Тогда в результате интегрирования получается зависимость M (рс). Так как при малых т
г И (Ю.1.ВП,
то легко убедиться, что условие (10.1.4п) будет удовлетворено лишь при dM
Таким образом, дано строгое доказательство того, что решения, располо-
dM л
женные на спадающей ветви кривой M (рс) там, где -т-—<0, являются неся Pc
устойчивыми относительно малых возмущений. Этот результат был получен выше в основном тексте параграфа весьма грубым способом, и его точное подтверждение является аргументом в пользу качественной правильности грубо-
dM
го рассмотрения. Вместе с тем надо отметить, что выполнение > 0
является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным для устойчивости, В части звезды вещество может иметь у < 4/3, и звезда останется устойчивой, должно быть лишь у > 0. Как найти эффективное среднее у, которое позволило бы судить об устойчивости решения? Построение пары кривых г0 (гп) и T1 (пг) для близких рс0 и рс1, которым соответствуют близкие M0 И Mu /позволяет всегда вполне однозначно проверить устойчивость по выполнению 10.1.4п) при всех пг и, таким образом, дает точное, исчерпывающее и практически удобное решение вопроса. Другой способ доказательства того, что максимум кривой M (рс) играет роль границы устойчивости, дан в конце § 7 гл. 10. Обзор других точных методов определения устойчивости, справедливых как в ОТО, так и в ньютоновской теории, дан Торном (1967).
§ 2. Аналитическая теория политропных газовых сфер (теория Лейна — Эмдена)
а. Общие соотношения. Ньютоновская теория гидростатического равновесия в частном случае
P = Kpf = tfp1+1/n' (10.2.1) 280
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
где п — 1/(y — 1), очень проста и представляет значительный интерес для астрофизики (Эмден; 1907), основные выводы этой теории изложены, например, в книге Крата (1950). Существует далеко идущее математическое сходство между телами с данным значением /г, но разными массами, и константами К. Гидростатическая структура зависит, как мы увидим, от безразмерной функции одной безразмерной переменной, например,
-*(¦?¦)' (10. 2.2)
где M — полная масса звезды, рс — центральная плотность, р — плотность оболочки, внутри которой содержится масса т. Вид функции я|) зависит только от индекса п.
На первых авторов производил впечатление тот факт, что двухатомный газ имеет у = 7/5 , п = 5/2, а одноатомный идеальный газ имеет у = 5/3, п = 3/2 при заданной, не зависящей от радиуса энтропии S = const. G современной точки зрения политроп-ный закон, как называется соотношение вида (10.2.1), никогда не реализуется точно, но политропная теория дает хорошие приближения в отсутствие точных численных расчетов. Политропная теория позволяет также понять некоторые качественные особенности теории звезд. Даже закоренелый релятивист должен знать основные элементы этой теории.
Чтобы выявить соотношение между политропными моделями с различными M ж К, мы введем безразмерные переменные Э и (Будем пользоваться традиционными обозначениями.) Переменная Э связана с плотностью и давлением посредством соотношений
р = tKQn9 P = Кр™/« = Kk 1+1/П0П+Х f (Ю. 2. 3)
где к — центральная плотность, рс = А,, так что 0 = 1 соответствует центру звезды. Переменная ? связана с радиальной координатой г:
