Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий важнейший момент связан с устойчивостью механического равновесия. Отнюдь не всякое решение, соответствующее точке в допустимой области плоскости р, M1 является устойчивым. Как было показано выше, на кривой M = М(р, S = const)
„ дМ I^n
устойчивы отрезки С положительной производной, Is U, и
неустойчивы те части кривой, где g <[ 0. Поскольку при
T = O также и S = O, легко определим, что на нижней кривой чередуются две устойчивые и две неустойчивые области. При повышении температуры (а следовательно, и M при фиксированном р) вторая устойчивая область II на рис. 34 вскоре исчезает.
В области, где вырождение не играет роли, но M <С Mr1 равновесие идеального одноатомного газа устойчиво вплоть до такой температуры, при которой наступают ядерные реакции, поглощающие энергию. Наоборот, при M > M' газ, давление которого в основном определяется излучением, имеет малый запас устойчивости. Даже малые поправки на ОТО, а также рождение пар е+, е" нарушает устойчивость равновесия. Этим объясняется резкий изгиб границы области устойчивости вблизи горизонтали M = Mf. В целом (не в масштабе) расположение областей показано на рис. 34.
Область неустойчивых решений заштрихована. Обоснованию всей этой картины и расчету границ областей посвящены следующие ниже параграфы.
Ясно, что неустойчивые решения не реализуются в природе. В устойчивом решении малое возмущение вызывает колебания вокруг этого устойчивого решения (затухающие вследствие диссипации энергии, если нет процессов, возбуждающих колебания). Неустойчивое решение отличается тем, что малые возмущения экспоненциально (поскольку теория линейна) нарастают с течением времени. При этом малое сжатие вызывает увеличение силы тяжести, превышающее увеличение давления, и сжатие нарастает. Но точно так же малое расширение вызывает уменьшение силы тяжести и дальнейшее экспоненциальное нарастание расширения.
*) Подробную таблицу см. на стр. 244. § 13 ОБЩИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗД 277
Однако в ходе эволюции звезда не попадает сразу вглубь области неустойчивости. Очевидно, что звезда возникает как устойчивый объект, ее эволюция также начинается в области устойчивости. Прежде чем попасть в область неустойчивости, звезда должна пересечь границу этих областей. Можно показать (см. об этом далее), что на границе устойчивости линейной теории недостаточно, и всегда возникает именно катастрофическое сжатие, а не расширение, которое вернуло бы звезду в устойчивое состояние.
Сделаем еще одно существенное замечание. Вдали от границы потери устойчивости, как мы видели выше, скорость изменения энтропии звезды много меньше, чем скорость установления гидродинамического равновесия. На границе потери устойчивости эти скорости становятся одинаковыми, поэтому в области устойчивости при подходе к ее границам надо, строго говоря, применять уравнения гидродинамики для расчета эволюции (конечно, лишь в непосредственной близости к границе).
Уже одного взгляда на рис. 34 достаточно, чтобы почувствовать, какое значение имеет для теории эволюции звезды понятие механической неустойчивости. Перейдем теперь к более детальному описанию нарисованной выше картины.
ПРИЛОЖЕНИЕ К § 1
Покажем, что в ньютоновской теории условие экстремума полной энергии звезды (при неизменном химическом составе и сохранении энтропии в каждом элементе) есть условие гидростатического равновесия. Полная энергия звезды при условии отсутствия макроскопических движений записывается в виде
г м Г С Gmdrn E = \ Ei (St р) dm — \ —--, (10.1.1h)
где т =^ 4л;г2р dr — масса внутри сферы радиуса г. о
Воспользуемся термодинамическим тождеством
dEl 4 (10.1.2п)
где P — давление, и вычислим первую вариацию полной энергии:
M M
SE = 5 + G^ J^L8г. (Ю. 1.3п) 278
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД
tiyi* 10
Преобразуем первый интеграл в (10.1.3п):
м м м
I -? bpdm = - $ Р6 (-f) dm=-I Pb *) dm = 0 0 о
M M
= _ С 8яР ^-rbrdm - UrtPr2S (-? Ал =
J dm J Vam /
о о
M Af
= - 5 8яР -^rbr dm + (Pr2) б г dm =
о о
M M
— ^ 4яг2 бг dm = -^-ordm.
о о
Подставляя полученное выражение в (ІО.І.Зп) и приравнивая 6Е = 0, находим
dP р Gm
dr
= C,
т. е. уравнение гидростатического равновесия. Таким образом, действительно, условие экстремума энергии есть просто условие гидростатического равновесия.
Запишем теперь выражение для полной энергии звезды, не предполагая равенства нулю скоростей движения вещества звезды:
M
С Г* Gm и21
E = ^ [E1(Sl9)--+ -^jdm1
о
где и — скорость элемента массы. Очевидно, что найденное выше состояние при котором имеется экстремум энергии, будет устойчивым, если экстремум — минимум. Действительно, из него не может возникнуть никакое другое состояние, ни с и = 0, ни тем более с u2 > 0.
Следовательно, исследование устойчивости сводится к нахождению условий, при которых 62Е > 0. Ограничимся состоянием покоя, и = 0.
В выражении для второй вариации коэффициент при (6г')2, где г' = ^J^ » д SE1 ЭР п
пропорционален р2 = . Поэтому необходимым условием устоичиво-дР
