Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
почти независящей от Е.
До сих пор, рассматривая задачу об электропроводности, мы предполагали
также, что квазиволновой вектор к представляет собой хорошее квантовое
число, пригодное для нумерации электронных состояний. Однако в ряде
систем, например в стеклах, аморфных полупроводниках или компенсированных
полупроводниках с примесными зонами (см. § 2 гл. 4, § 9 гл. 5 и § 7 гл.
6) наиболее удачным оказывается описание электронов посредством
состояний, локализованных в различных точках образца. Проводимость при
этом осуществляется лишь путем термически активированных прыжков с одного
центра локализации на другой с испусканием или поглощением фонона такой
частоты, чтобы переход был энергетически разрешен х).
§ 7. Кинетические коэффициенты
Пусть теперь в образце, помимо электрического поля, имеется градиент
температуры. В пренебрежении влиянием размеров и формы образца
кинетическое уравнение (7.14) имеет вид
( "Ж) vl.{S^(-V7') + e (E-fvC) } - (7.77)
По сравнению с уравнением (7.16) мы лишь заменили здесь вектор Е на более
сложную векторную функцию от к. В тех усло-
г) Фактически электроны в таких системах могут находиться, видимо, как в
локализованных, так и в нелокализованных состояниях (отвечающих
соответственно областям дискретного и непрерывного спектров энергии).
Прыжковая проводимость имеет место, если почти все электроны
сосредоточены в состояниях первого типа, т. е. при достаточно низкой
температуре. При повышении температуры прыжковая проводимость сменяется
обычной; однако и в этом последнем случае компоненты вектора к не могут
служить хорошими квантовыми числами: материал не характеризуется дальним
порядком в расположении атомов, соответственно чему силовое поле
непериодично в пространстве,- Прим. ред.
§ 7. Кинетические коэффициенты
263
виях (см. § 3 настоящей главы), когда оправдано использование времени
релаксации, вид решения нам известен:
Подставив это выражение в интеграл типа (7.20), вычислим электрический
ток
Отсюда видно, что при наличии одного лишь градиента температуры должен
возникнуть электрический ток - таково происхождение термоэлектрического
эффекта.
Наиболее важный эффект, обусловленный градиентом температуры, состоит в
появлении потока тепла. Могло бы показаться, что это есть поток энергии
но это было бы неверно. "Количество теплоты" равно "внутренней энергии"
за вычетом "свободной энергии". Свободная энергия на один электрон есть
химический потенциал ?,. Количество тепла, переносимого электроном в
состоянии к, составляет, следовательно, % (к) - ?. Более строгий анализ
подтверждает, что полный поток тепла (на единицу объема) равен
Прежде чем рассматривать выражение для U, отметим, что в формуле (7.78)
присутствует член, пропорциональный V?-, он описывает вклад в
электрический ток, обусловленный изменением химического потенциала с
температурой электронного газа [ср. (4.23)]. Однако в обычных условиях
опыта любой такой градиент ? проявляется лишь как одна из составляющих э.
д. с., измеряемой в цепи. Поэтому мы просто опустим этот член,
предполагая, что все связанные с ним эффекты можно учесть, понимая под Е
"наблюдаемое" электрическое поле.
На основании (7.78) - (7.80) можно написать следующие обобщенные
уравнения переноса:
к-Я=(~% )tvk.[e(E-ivS)+^-'(-vr)]. (7.78)
2j/kg (k) vk dk,
U = 2 j fi{9 (k) - 1} vk dk.
(7.80)
-J = e2Ko*E +-^- Kr( -VT), U = eKi*E Кг* (- VT).
(7.81a)
(7.816)
264
Гл. 7. Кинетические свойства
Входящие сюда коэффициенты (фактически это тензоры, но соответствующее
обобщение является чисто формальным) определяются равенствами
(7-82)
Интегралы здесь можно вычислить с помощью общей теоремы (4.21),
касающейся интегралов с функцией Ферми. Именно
где теперь функция Ф (%) сама есть интеграл по изоэнергетиче-ской
поверхности % (к) = %. Однако это интегрирование уже не представляет
принципиальных затруднений.
В полной аналогии с формулой (7.21) мы имеем
<7-">
Введем теперь функцию К0 (Щ, определенную по типу (7.84), но не для
поверхности Ферми, а для произвольной поверхности постоянной энергии
Чтобы вычислить К2, надо взять функцию Ф (I) = [Ш - С)2 Ко ($); она
обращается в нуль при % = и поэтому от второго члена в правой части
равенства (7.83) остается только
К2 = 1л2(^)2Ко(0. (7.85)
Результат для Кх несколько более сложен:
К, = j л* (кТ)г [^- Ко (")] , (7.86)
Коэффициент при Е в уравнении (7.81а) есть, конечно, электропроводность,
определяемая по току, который должен измеряться в изотермических условиях
(Х/Т = 0). Этим просто подтверждается формула (7.23); очевидно,
а = е2К0; (7.87)
эквивалентные соотношения справедливы и для тензоров, сводящихся в случае
кубической симметрии к скалярам. Фактически равенство (7.87) используется
для определения кинетического коэффициента К0 по известной
электропроводности.
§ 8. Теплопроводность
Коэффициент при градиенте температуры в формуле (7.816),
определяющей поток тепла, можно было бы назвать теплопро-
