Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рассеянием на примеси и т. д.
Формулы подобного вида весьма изящны. Они лежат в основе строгого
доказательства ряда теорем, касающихся кинетических коэффициентов,
например соотношений Онзагера в теории необратимых процессов (см. § 9
настоящей главы). Однако явно раскрыть содержание выражений типа (7.15),
сведя их к таким величинам, как эффективное сечение рассеяния и т. п.,
далеко не просто.
1) Видимо, автор рассматривает здесь пространственно однородную систему
единичного объема. В общем случае формула Кубо имеет более сложный вид
(см., например, книгу [15], § 14). Это, однако, не влияет на последующие
рассуждения.- Прим. ред.
246
Гл. 7. Кинетические свойства
Эту чрезвычайно тонкую задачу удалось решить пока что лишь для нескольких
простых стандартных случаев. К нашему удовлетворению, эти
усовершенствованные расчеты подтверждают почти все результаты, полученные
значительно проще с помощью уравнения Больцмана *).
§ 2. Электропроводность
Пусть на систему наложено только электрическое поле Е и в "бесконечной"
среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (7.6)
получаем
(-!r)v'-eE=-^Lu"J^-W9<k'k')A' =
= j (gk - gk')Q(k, k')dk'. (7.16)
Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk.
Вместо того чтобы непосредственно решать его, сделаем феноменологическое
предположение:
(7.17)
Тем самым мы вводим время релаксации т. При выключении поля любое
отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону
dgk gk dt х 1
или
gk(t) = gk(0)e-4\ (7.18)
Принятая аппроксимация разумна, но должна быть обоснована. Это будет
сделано в § 3 настоящей главы. -
Подставляя определение (7.17) в уравнение (7.16), находим
^=(-ж)ТУк-еЕ- <7-19)
-1) Так обстоит дело лишь цри исследовании классических явлений переноса.
Существуют задачи, в которых использование формул типа (7.15) необходимо
принципиально. К числу их относятся, например, некоторые вопросы теории
сильно легированных полупроводников и полупроводников с малой
подвижностью, исследование гальвано- и термомагнитных явлений в сильных
магнитных полях и др. При решении этих далеко не простых задач явное
"раскрытие" выражений типа (7.15) в ряде случаев удалось фактически
осуществить с помощью тех или иных приближенных методов.- Прим. ред.
d>k 1 ,= 1 dt Jscatt Т (r)k'
§ 2. Электропроводность
247
Чтобы получить электропроводность, вычислим соответствующую плотность
тока
Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что
использованы также формулы (2.66) и (4.6) для преобразования объемного
интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнерге-тичесним поверхностям
и по энергии.
Согласно § 5 гл. 4, в металле функция (-д{°1дШ) ведет себя как 8-функция
от (g - ?), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности
Ферми. Таким образом,
Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой
Чтобы вывести это выражение, исходя из формулы Кубо (7.15), мы могли бы
определить величину т как время затухания соответствующей флуктуации -
фурье-компоненты тока ev^ с волновым вектором к. При усреднении по
ансамблю вероятность такой флуктуации определяется функцией Ферми -
Дирака. Это и приводит к появлению в формуле (7.23) плотности состояний
вместо
Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии, при этом тензор
электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор.
В случае когда оба вектора Е и J направлены по оси х, подынтегральное
выражение в (7.21) есть
<7-20>
(7.21)
J = о-Е,
(7.22)
где а - тензор. Получим
(7.23)
ИкТ.
(vkVfE )x=>v%E, что дает V3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому
(7.24)
= Р-25)
248
Гл. 7. Кинетические свойства
где мы ввели длину свободного пробега
Л = XV.
(7.26)
Это есть основная формула для электропроводности.
Интересно посмотреть (фиг. 122), как выглядит функция рас-пределения /к,
заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (7.19), функция gk
велика только вблизи поверхности Ферми.
Фиг. 122. а - смещенная поверхность Ферми; б - смещенное распределение
Ферми.
Небольшая добавка появляется с той стороны, где Vk -еЕ > О, т. е. там,
где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с
противоположной стороны.
Фактически по теореме Тейлора можно написать
Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в к-про-странстве
на величину (er/h) Е. Это несколько неверная интерпретация. В
действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в
глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения
электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются
примесью.
Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если
не считать возможной температурной зависимости т). Эта же формула
справедлива при Т - 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую
границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение
жесткой поверхности Ферми.
Заметим также, что выражение (7.27) можно представить в виде
