Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
/и0+ 0) =7(f" + Г + 0) = 7,
<>(*, + Т + 0) = + 0) + <й(7)Г.
Отсюда находим окончательно, согласно (1.6),
?_7 гТдУ(1,Ъ) в д" 1
а 1 , т ЗПЛО)
ф = 0 + (й{1) Т + гТ -jj-
Подчеркнем, что уравнения (1.7) являются точными (ком. 1). Легко
убедиться в том, что те преобразования, которые получались в задачах об
ускорении Ферми, являются частными случаями (1.7).
Упростим систему (1.7), приняв, что V = VW. Как будет впдно далее, задача
все еще сохраняет свою общность. Имеем
7=7-e70g(fl), Ъ = Ъ + а>СПТ, (1.8)
где обозначено
п введена из соображений размерности некоторая константа /0. По смыслу
введения параметра е функция maxgOd) ~ 1, причем g - некоторая
периодическая функция Ф. Пусть, например, возмущение имеет только одну
первую гармонику по Ф. Тогда просто ?(•&) = sin А и (1.8) переходит в
7-7-е/. sin О,
Ъ = 0 + а(7)Т * Ф + <й(/)Г - К sin Ф, где совершено разложение по малому
е и введены обозначения
(I*")
К = еав>Т. (1.11)
Рассмотрим преобразование (1.9). Величина действия изменяется мало (Д7/7
~е), и поэтому так же, как и ранее, основная информация заключена в
уравнении для фаз Ф. Рассмотрим величину
Рис. 4.1. Островки устойчивости в стохастической море.
характеризующую растяжение фаз. При К " 1 она мала, и в этом случае можно
говорить об устойчивости движения в соответствии с теоремой КАМ. При К >
1 возникает локальная неустойчивость, приводящая к перемешиванию
траекторий в фазовом пространстве, Однако, как бы велико ни было значение
К, всегда существует область углов
Дд<1 /К, (1.13)
в которой ЛГI cos в I < 1 и растяжение отсутствует. Эта область
расположена в окрестности Ф = л/2, и ей должны соответствовать устойчивые
траектории. Таким образом, качественное рассмотрение приводит к той
картине стохастичности, которая изображена па рис. 4.1: фазовое
пространство представляет собой "стохастическое море" разрушенных торов,
в которое погружены островки устойчивости с инвариантными торами.
В области "островков устойчивости" существуют также некоторые
неустойчивые решения при определенных значениях К (см. [70]). Пусть,
например, в отображениях (1.8)
г10 + К, g(fl) = -sinfl, ю(/) = /, Т = 1,
7(0) = 0, 0(0) = fl",
где 7(0) и Ф(0) - начальные действие и фаза. Тогда, если выполнено
условие
К sin 0О = 2лго, где тп - целое, то
7" = 2л тп.
Действие растет линейно и регулярно со временем. В действительности
существуют области конечной меры вблизи значений К sin Oo = 2лт, в
которых реализуется описанный механизм ускорения.
Сразу же возникает вопрос: действительно ли существует некоторая граница,
отделяющая островки устойчивости от области неустойчивости? Из общих
соображений можно заключить, что траектория не может быть и устойчивой, и
неустойчивой в одно и то же время. Поэтому поставленный вопрос
вырождается в следующий: не могут лн малые островки устойчивости сильно
повлиять на общую картину движения во всем фазовом пространстве и
ликвидировать стохастичность? Строгой теории преобразования (1.9) не
существует. Трудности в ее построении как раз и связаны с тем, что
островки устойчивости имеют конечную ме-
78
ру (1.13). Именно это последнее обстоятельство является причиной того,
что практически все реальные физические ситуации оказываются пока вне
возможностей строгого анализа. Решение поставленных вопросов было
получено путей очень тщательного численного анализа Чириковым и
Израилевым [76, 77] (см. также [15, 24, 25]). Их результаты полностью
подтвердили те качественные соображения, которые приводят к картине
стохастич-ностп, изображенной на рис. 4.1. Иными словами, простые
соображения о растяжении приводят к критерию стохастичности
К=га<лТ> 1, (1.14)
а область К ~ 1 является границей стохастичности. Грубо говоря,
стохастичность появляется тогда, когда мера островков устойчивости
становится малой. Мы еще вернемся к обсуждению этого вопроса с более
общей точки зрения в следующей главе, а сейчас перейдем к более
подробному анализу свойств универсальной модели стохастичности (1.7).
Прежде всего заметим, что упрощение, связанное с переходом от
преобразования (1.7) к преобразованию (1.8), не является существенным в
области стохастичности, т. е. при К > 1. Действительно, член еТ dV/dl ~
eg ~ е и не влияет на условие
(1.14). С ним связано лишь изменение переходной области и числа п
структуры островков устойчивости. Поэтому для общего представления
достаточно ограничиться изучением преобразования (1.9), которое вытекает
из (1.8) при пе слишком больших а. Будем также предполагать а < 1. Тогда
критерий стохастичности
(1.14) представляет собой произведение малых параметров е и а на
большой параметр а>Т. Отсюда следует важное утверждение, что
стохастичность возникает при возмущении (е) и нелинейности (а), больших
некоторых критических значений. Оценим корреляционную функцию фаз О и
получим время затухания корреляций при К> 1 [75, 135]. Для этого
воспользуемся приближенным итерационным уравнением
#л+1 =&" + а>Т - Xsinftn. (1.15)
