Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
для частных моделей случайных процессов. Как правило, в нелинейных
задачах такая процедура приводит к бесконечным зацепляющимся цепочкам
уравнений для моментов, анализ которых может представлять значительные
трудности. В последнее время был развит ряд методов усреднения нелинейных
стохастических уравнений для дельта-коррелированных случайных процессов
[8-10], предложены способы усреднения для некоторых конкретных моделей
случайных процессов с. конечным временем корреляции [11 -13]. Вместе с
тем даже при анализе частных случаев нелинейных стохастических
дифференциальных уравнений далеко не всегда удается получить хорошо
Обозримые конечные результаты.
В настоящей главе изложены некоторые результаты, относящиеся к теории
распространения и взаимодействия линейных и нелинейных волн в
случайнонеоднородных средах. На частных примерах, допускающих достаточно
полный анализ, обсуждаются некоторые особенности, возникающие при
исследовании линейных и нелинейных стохастических дифференциальных
уравнений.
§ 43. О кинетическом уравнении для осциллятора в случайном внешнем поле
Рассмотрим, следуя работе [18], поведение осциллятора под действием
внешней силы, которая пред-
146
ставляет последовательность импульсов с известным случайным законом
распределения величины импульсов и промежутков времени между импульсами.
В зависимости от времени длительности импульса т (времени "столкновения")
и частоты осциллятора со возможны два предельных случая: сот<1 и сот"1.
Ниже рассматривается второй случай в приближении, когда средний интервал
между импульсами много больше со-1 (редкие "столкновения").
Исходным уравнением, описывающим движение осциллятора, будет
х+(со2 + Шк = 0. (43.1)
Здесь Fit) - последовательность достаточно гладких импульсов11 с
известным случайным законом распределения их формы и промежутков между
ними. Условие достаточной "плавности" импульсов от > 1 позволяет записать
решение уравнения (43.1) в ВКБ-при-ближении
х = Axj. + Вх~,
х± = ОТ1'2 ехр jit i J ?2(0 d*'}, ?2 = (ш2 + F(t)f 2. (43.2)
В интервале между столкновениями Q " со и решение (43.2) представляет
собой обычные колебания. Действие столкновения приводит к изменению
адиабатического инварианта iE - энергия осциллятора)
I - E/Q, (43.3)
аналогичному эффекту надбарьерного отражения в квантовой механике.
Рассмотрим комплексную плоскость t. Линии уровня асимптотических решений
(43.2) имеют вид, изображенный на рис. 19. При этом считается, что
ближайшими к действительной оси особенностями являются точки tk, th
(звездочка означает комплексное сопряжение), в которых Q2it) имеет
простой пуль:
Q2(t) = y(t)R(t-tk)(t-t*h). (43.4)
к
Здесь Ч*" it) может иметь особенности или нули в точках
В дальнейшем действие импульса на осциллятор будем называть
столкновением.
6*
147
Рис. 19. Линии уровня асимптотических решений (43.2).
с мнимой частью, много большей Im th. Изменение адиабатического
инварианта при условии (43.4) возникает при прохождении достаточно узкой
области вблизи точек Ок (см. рис. 19) и вычислялось в гл. II.
Введем оператор сдвига Тп
x(t+ Тп) = Т+х (t). (43.5)
Здесь Тп - промежуток между On+i и Оп, а момент времени t лежит в
интервале (Оп-и Оп). Воспользуемся для оператора Т? видом, приведенным в
§ 9:
+ /Фехр i (я/2 + Sn + ф") ехр - [бп+ г(я/2 - Sn)]
Тп \ехр[ -6п + г(я/2 -?")] Ф ехр- г(я/2+?п+фп)
(43.6)
'п+1
i j Q(i')di'>0,Sn= j Q(t')d?> 0, (43.7)
Ф = (1 + exp (-26J)1/2.
При этом оператор Тп действует на вектор-столбец с компонентами Апл+,
Впх~. Фаза фп в (43.6) по порядку величины не более единицы, и точный вид
ее в дальнейшем не понадобится. Оператор Тп имеет структуру
П = {b* a*)' M2-H2=!. (43.8)
Для удобства выберем х в действительном виде,
148
т. е. В^=А*. Из (43.7) следует, что если Вп = Ап, то Вп+1 = Ап+1. Отсюда,
согласно (43.3),
/"=U"I2. (43.9)'
Учтем теперь, что столкновения редкие. Тогда
(43.10)
и оператор сдвига принимает вид
+ _ ((1 + е(r))1/2 ехр (i(r)Tn) еп ехр (шТп) \
\е" ехр (- шТп) (1 + е2 )1/3 ехр (- шТп)}
(43.11)
(r)" = ехр (-б")/2.
Рассмотрим теперь вспомогательное уравнение
+
+ 2M(i-*i,)h = 0, (43.12)
ft J
решение которого на интервале (Fn-i, tn) запишем в виде
I (t) = Ап1+ + Л*?_, |+ = ехр(± icoi). (43.13) Оператор сдвига Тп
определим аналогично (43.5)
l{t+Tn) = Ttl(t), (fn = 'tn+1-tn). (43.14)
Имеем
-+ _ /(1 + ^/4о2)1/2ехрг(ф"+ &Тп) (ип/2оэ) ? \
\(u.n/2w) ?_1 (1 + и2! 4<о2)1/2 ехр - ?(фп+ (r) Тп) j '
(43.15)
Ф" = arctg (ип/2<о), ? = ехр (гл/2 + юТ'п)-
Сравнивая (43.11), (43.15) и учитывая (43.10), видим, что исходное
уравнение (43.1) можно заменить уравнением (43.11), если положить
l = Ql/2x, 6П = uJ2d), Тп = Тп. (43.16)
Перейдем к выводу кинетического уравнения. Пусть /(|, г), t)-плотность
вероятности того, что в момент времени t переменная | лежит в интервале
(|, g + *Zg),
149
а переменная г| - в интервале (rj, ri + dr\), причем | / (Е, Т1, t) dldr\
- 1. Точки tk в уравнении (43.12) будем считать распределенными по закону
