Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
22 Если метрический тензор пространства — времени
gao мало отличается от метрического тензора Минковско-(00) ГО ga?,
(00)
g a? = g a? +Aa?, (1-2)
то величины Aa ? малы по сравнению с единицей. Будем предполагать, что и их частные производные имеют тот же порядок малости х):
h*?,[L-h<X?,[LV ~ ^a?. (1 .3)
Тогда в линейном по ha? приближении тензор Римана — Кристоффеля имеет вид
Roi?yb (Aav,?5 + A?8,Y<x — Aa5fY? — A?Y,as). (1.4)
Находя отсюда выражение для тензора Риччи, запишем уравнения (1.1) в линейном приближении:
1 <00) R R / 1 (00) ,
~ (Av.?* + hay - hlyb - A^a8) = - I (Tay - I T gaY) .
(1.5)
При этом был использован тот очевидный факт, что в линейном приближении
(00)
Умножая уравнения (1.5) на gaY, приходим к скалярному соотношению
DA + A^v = — Wf (1.6)
Х) Строго говоря, производные OT Aa? разных порядков имеют определенные, причем различные, размерности, поэтому порядки малости их следовало бы оценивать по отношению к характерным линейным размерам (типа радиуса кривизны) пространства — времени фона. Но так как в данном случае оно является плоским (бесконечный радиус кривизны), то порядки малости первых и вторых производных в рассматриваемых приближениях можно считать одинаковыми. Для случая неплоской метрики фона такие оценки проводятся, например, в работах Айзексона, обсуждаемых ниже в этой главе.
23 где *)
? = -(°^?oeo? = A-O03o (1.7)
есть оператор Даламбера специальной теории относительности, а Д — оператор Лапласа:
з
A = S^i- (1-8)
І
(00)
Умножая уравнение (1.6) на gay и подставляя в (1.5)
(00)
получившееся выражение для fKTgay, приходим к системе уравнений, которую удобно представить в виде
(00)
Cl|>a? + ^ + ^alL - Sa?lfov = 2Wa?, (1.9) где мы ввели величины
1 (00)
l|>a? = Aa? — у Aga?. (1-Ю)
Систему уравнений (1.9) можно далее упростить, приняв во внимание, что в приближении слабого поля всегда можно удовлетворить условиям Гильберта [3, 4]:
*?.? = 0. (1.11)
Тогда уравнения поля приобретают стандартный вид
?i|)a? = 2Wa?, t|)l? = 0. (1.12)
Итак, уравнения Эйнштейна в линейном приближении являются волновыми уравнениями для потенциалов \|)a?, причем их правая часть описывает источники гравитацион-
х) Частные производные по координатам в большей части книги
д
обозначаются индексами после запятой (например, Qa?>Y = Qa?)>
а ковариантные — индексами после точки с запятой (например, д
=^x Q^ -rxvAv-- rXv^a)' °ДнаК0 в тех параграфах,
где была необходимость особо выделить операторную природу этих индексов, используются более наглядные обозначения типа Qai^ у = = дуQa^ и (?a?. Y = VY(?a?. Все другие случаи специальных обозначений дифференцирования оговорены в тексте.
24 ного поля. Следовательно, в линейном приближении уравнения тяготения описывают распространение гравитационных волн с фундаментальной скоростью1) с (х° = et); условия (1.11) представляют собой аналог условия калибровочной инвариантности классической теории поля.
Выберем начало декартовой системы координат внутри объема V1 занимаемого источниками. Пусть х — радиус-вектор произвольной точки P1 лежащей вне объема Vj I — радиус-вектор произвольной точки О внутри объема V. Общее решение системы уравнений (1.12) при нулевых начальных данных (\|)a? = 0 и i|)a?)0 ;= 0 при X0 = 0) имеет вид 2)
= -Vi—(113)
где г = X — %. Таким образом, решение уравнений Эйнштейна в линейном приближении дается запаздывающими потенциалами (1.13).
Разлагая в решении (1.13) подынтегральное выражение в ряд по степеням |/ \х\, можно исследовать излучение материальной системы во всех порядках мультипольности. Соответствующие компоненты излучения характеризуются тензорами мультипольных моментов. Ранг s тензора 28-мультипольного момента, характеризующего распределение масс источников, определяется номером S соответствующего члена в разложении по мультиполям. Так, вводя следующие трехмерные тензоры (Боннор, [6]):
M = ^T00 dV, Ai = 5 Toi dV, Sij = 5 Tij dV,
VVV
мы...т = J T00IkIl. . .ImdV1
V
Ат...т= \ ToiIbll...Im dV, (1Л4)
V
8ц\ы...т = ^ TijIkIi . . . Im dV,
1J Всюду в книге используется система единиц, в которой с = == 1; исключение составляет лишь начало параграфа 2 этой главы.
2) Математическая теория неоднородного уравнения Далам-
бера изложена, например, в книге Соболева [5].
25 и определяя через них соответствующие бесследовые тензоры мультипольных моментов
Mn = ZMkl-SklMpp,
м Ыт = 5 Mklm — SklMppm — SlmMkpp — SmkMpip,
iiilfc = SAm — 6ifc,4p|p, (1.15)
= 5?!? + SiJ (Skp\p — 25pp|fc) + у б/с* (Sppiy—3Sjp\p} +
+ у Sjfc (?pp|i — 3?,^),
можно выразить компоненты запаздывающих потенциалов г|?а в виде бесконечных рядов по мультиполям:
43|j Axk (ъ Sij]k \
^oi = - з]?7 + -fTf)"
_ 4M 2хкхг ( * 3Йк1 3Mkl \
^00- ""]ТГ"3|Tf +"TFf + TMr/
2Wlxm (Л , 1БМкіт , 1 SMklm \
151XI4 \x\ + |s|« + I a: I3 / 1 "'
где точки над символом обозначают дифференцирование по запаздывающему времени t — г. Первый член разложения для If00, очевидно, представляет собой ньютоновский гравитационный потенциал, тогда как последующие выписанные члены отвечают квадрупольному и октупольно-му моментам распределения масс. Отсутствие дипольного члена свидетельствует, в частности, о том, что сферически симметричная система источников не может излучать гравитационных волн. Таким образом, решение (1.16) волновых уравнений (1.12) описывает гравитационные волны в линейном приближении, причем первым «радиационным» членом в разложении потенциалов г|?ар является квадру-польный член.
