Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим решения уравнения линзы источника, находящегося на оптической оси у = 0. Тогда существует три типа решений уравнения линзы:
а) решение, находящееся в начале координат Xi = х2 = 0;
б) точки (±х,0), для которых 1 — к — Гі =0;
в) точки (0, ±х), для которых 1 — к — Г2 = 0.
Заметим, что при Гі ф Гг ни одна из этих точек не лежит на критической кривой, и нет решений уравнения линзы, удовлетворяющих условию xi, X2 ф 0. Т.о., для распределения поверхностной плотности массы такой, что fc(0) > 1, и достаточно малых возмущений источник, находящийся на оптической оси, имеет пять изображений.
6.2.1. Линза Чанг-Рефсдала
Рассмотрим крупномасштабное возмущение гравитационного поля точечной массы. Такая картина может возникнуть, например, при рассмотрении в качестве гравитационной линзы звезды в галактике, причем гравитационное поле галактики вносит возмущение в действие гравитационного поля звезды. Для гравитационных полей звезды и галактики характерны различные типичные масштабы длин. Заметим, что довольно часто действие звезд в качестве гравитационных линз называется микролинзированием, в то время KciK действие галактики как линзы называется макролинзирова-Нием. Эти определения связаны с отличием характерных величин угла раз-Деления изображений при микролинзировании и макролинзировании. Так, При макро линзировании характерная величина угла разделения изображений порядка нескольких угловых секунд, в то время KciK характерная вели- 172 Глава 7. Наблюдения гравитационных Jllllli
чина угла отклонения порядка Ю-5 угловых секунд. Иногда рассматрцв ется возможность действия KciK гравитационной линзы шаровых скоплен^ и молекулярных облаков, тогда характерная величина угла, разделяюще изображения, порядка IO-3 угловых секунд, в этом случае иногда говоРя о миллилинзировании. Уравнение линзы
Рассмотрим уравнение линзы, которая является точечной гравитируЮщед массой М, причем действие этой линзы возмущается действием крупно-масштабной линзы. Если выбрать характерный масштаб длины, равный радиусу Эйнштейна точечной массы ?о, тогда к(х) = 1 /х2, и уравнение линзы имеет вид
X ( fcc + 7 0
У - х ~ Izl2 ~ I 0 кс
-7)ж' S (6.81)
где кс и 7 - соответственно поверхностная плотность массы и сдвиг макролинзы в точке расположения точечной массы. Начало координат в плоскости источника выбрано т.о., что в отсутствии точечной линзы должно быть изображение в точке х = 0 точечного источника, находящего на оптической оси у = 0.
Ясно, что квадрупольное разложение становится не применимо в случае, если точечная масса находится на критической кривой макролинзы, поскольку тогда влияние макро линзы становится определяющим. Поэтому предполагаем, что 1 — fcc±7 ф 0. Сделаем следующую замену координат в плоскости линзы и источника:
X = у/\1-кс + у\х, Y = У (6.82)
v|l — кс + 7І
В новых переменных уравнение линзы принимает вид
Y=iAo Dx-W- (683)
-кс + 7), и
л = ^rr2- (6-84)
1 - кс + 7
Поскольку смена знака величины 7 связана лишь со сменой осей координат, то можем считать, что знак выбран так, что |Л| < 1, причем случай Л = 1 соответствует случаю нулевого сдвига 7 = 0. При І7І —> оо или (и) при кс = 1 имеет место Л —> — 1. Случай Л = 0 соответствует случаю, когда точечная масса находится на критической кривой макролинзы. Рассмотрим следующие области значений параметра Л: интервал 0 < Л < 1 и полуинтервал —1 < Л <0. g2 {(вадрупольные линзы 173
«иан и критические кривые Усмотрим, KciK матрица Якоби уравнения линзы (6.81) связгіна с матрицей ^цоби уравнения линзы в новых переменных (6.82):
|| = А = |1- кс + 7|Л = |1- кс + (6.85)
где
Л j. ~ 2^1 Х2 \
A = \ X4 ^4 2
' 2X1X2 Xi — Х2
X4 € X4 /
(6.86)
Тогда определитель матрицы Л равен
det A = ^[ОД2 + xlf + е(1 - Л)(Х? - ХІ) - 1], (6.87)
где X = |Х|. Тогда критические кривые являются овалами Кассини. Напомним, что овалами Кассини называются плоские алгебраические кривые четвертого порядка, удовлетворяющие уравнению в декартовых координатах (х, у) (Савелов (I960)):
(х2 + у2)2 - 2с2(х2 - у2) = Oi - с4. (6.88)
Иное определение овалов Кассини состоит в том, что это множество точек на плоскости, произведение расстояний каждой из которых до двух заданных точек Fi(—с, 0) и F2(C1O) (фокусов) есть величина заданная. При овал Кассини - овальная линия, при с < асу/2 - кривая с "талией", при а = с - лемниската Бернулли, при а < с - два овала.
Обсудим значения критических точек и точек каустических кривых, находящихся на осях координат. При Х2 = 0 условие det A = 0 приводит к квадратному уравнению по величине X2 с решениями
= ^[«(Л"1)±(Л + 1)]. (6-89)
аналогично, критические точки на оси X2 описываются соотношениями
*? = ^Wl- Л) ± (Л + 1)]. (6.90)
Тогда соответствующие точки кривых на каустиках определяются соотно-щениями
Vi2 = ^(A + l)2-4cA, (6.91)
У2 І±1(Л + І)!_4с.
2 Л - <6-92> 174
Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..
Таблица 6.2. Критические и каустические точки на осях координат линзы Чанг-Рефсдала (Шнайдер и др. (1992)).
