Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
а(х) = ^1х, (6.17)
X
где X= |as|. Дифференцируя уравнения линзы, получим
A-X- m(x) ( х2- -2X1X2 N _ dm(x) 1 Ґ xj XiX2 \ ,g ^ — X4 \ —2X1X2 х\ — х2 J dx X3 V xIx2 Х2 /
где 1 - двумерная единичная матрица. Дифференцируя интеграл (6.8) по параметру х, получим
dm/dx = 2хк(х), (6.19)
и имеем выражение для компонентов сдвига
1/2 2s /2т т'\ /т' 2тп\ п(1>
7. = - *?) - ^J - * = ™ (р- - -Г) - (6-2°)
где т' = dm/dx. Из этих соотношений получаем
72 = (m/x2 -к(х))2 . (6.21) g j Аксиально симметричные линзы
159
самым, можно найти следующее выражение для определителя матри-дЫ Якоби:
det А = (1 - m/x2) (1 + m/x2 - 2k) . (6.22)
Возможно получить также другие выражения для определителя
У dy №А=хТх:
(-г) [>- = (=)]-("^)0-=•<*>)-^bi
<г2
Тангенциальные и радиальные критические кривые Дапомним, что критические кривые в плоскости линзы определяются из соотношений det A = 0. Имеется два типа критических кривых: те, которые удовлетворяют соотношениям m/x2 = 1 и называются тангенциальными критическими кривыми, и те, которые удовлетворяют уравнению d(m/x)/dx = 1 и называются радиальными критическими кривыми. Нетрудно убедиться в том, что уравнение линзы отображает тангенциальные критические кривые в точку у = 0, тем самым, эта каустическая кривая вырождается в точку. Ясно, что это свойство структурно неустойчиво, и любое возмущение приводит к исчезновению вырожденности.
В критической точке матрица А имеет собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению. Рассмотрим критическую точку Xi = X, т.е. критическая точка лежит на оси Xi (хг = 0). Тогда имеем следующее выражение для матрицы А:
(о1 П-^Ко о)- <™>
Если рассмотреть тангенциальную критическую кривую, то вектор Xt = (0, 1) касателен к этой кривой в рассматриваемой точке, в то время как вектор Xr = (0, 1) ортогонален к этой кривой. Нетрудно видеть, что Xt - собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению, если рассматривается тангенциальная критическая кривая, и Xr -собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению, если рассматривается радиальная критическая кривая. Искажение изображения вблизи критической кривой Рассмотрим точку хс = (хс,0) вблизи критической кривой. Если на критической кривой m/x2 = 1, то в точке Xc имеем m/x2 = I-S (|<5| -С 1). Тогда для матрицы Якоби в точке Xc имеем, что
2-*7*е;). (б.25)
Рассмотрим эллипс с центром в точке Xc, размер которого значительно меньше расстояния от точки Xc до критической кривой 160 Глава 6. Модели гравитационных Jilflj..
Этот эллипс на плоскости линзы переводится отображением линзы в липе на плоскости источника
.. . ( (2 - т'/хЛрі COSip \
d(<p) =Pc+ (6.27)
где Ус - образ точки Xc при отображении гравитационной линзы. ДруГи. ми словами, c(tp) - изображение источника d(tp). Пусть рассматривается круговой источник, т.е.
. . 2 — т' I хс. .
M =-J1—ІР11- (6.28)
Изображение c(tp) этого кругового источника представляет собой эллипс (ІР2І |pi I), сильно вытянутый вдоль оси х2, т.е. в направлении, касательном к критической кривой. Поэтому критические кривые, определяемые уравнением т/х2 = 1, называются тангенциальными. Аналогично, если рассмотреть изображения кругового источника вблизи радиальной критической кривой, то они сильно вытянуты в радиальном направлении. Геометрический смысл собственных чисел
Рассмотрим инфинитезимальный круговой источник с диаметром <5 и с центром, находящимся в точке у, изображение которого находится в точке х, которое есть эллипс с осями pi в радиальном направлении и р2 в тангенциальном направлении. Тогда угол с вершиной в начале координат, стягивающий изображение, равен tp = S/у. Поскольку полярная координата не меняется при отображении аксиально симметричными линзами, tp = р2/х. Используя для отношения у/х скалярное уравнения линзы (6.11), получим
Sfp2 = 1 - т/х2. (6.29)
Запишем диаметр источника в виде S = —pi, находим, что
ах
Sjpi = 1 + т/х2 - 2к. (6.30)
и (6.30) имеем выражение в радиальном направлен
(dy/dx)-1 = (1 + т/х2 - 2k)'1,
растяжение в тгшгенциальном направлении равно (1 — т/х2)-1. Точечный источник вблизи у=0
Рассмотрим источник вблизи точки у = 0. Обозначим среднюю поверхностную плотность массы к(х) = т(х)/х2. Тогда тангенцигшьная критическая кривая в точке Xt удовлетворяет ргизенству k(xt) = 1. Источник при у 1 имеет два изображения вблизи тангенциальной критической кривой при X = Xt + Дх и X = Xt — Дх, где Дх = у (dy/dx)-1. Абсолютная величина усиления каждого изображения ргизна |/j| = | det А\~1 ¦ Используя соотношение (6.23), получим
H-1 и U - *(±st + Дх)I \dy/dx\ и |eOk/efj;| у. (6.31)
Из соотношений (6.29) и (6.30) имеем выражение для множителя, характеризующего растяжение в радигшьном направлении: g j Аксиально симметричные линзы 161
0оэтому изображения точечного источника при малом прицельном параметр6 У имеют общий коэффициент усиления
^p = Эр/у, Эр = 2
dk
Tx{Xt)
(6.32)
Линза Шварцшильда
Несмотря на то, что ранее линза Шварцшильда уже рассматривалась, напомним ее основные свойства. Рассмотрим точечную массу М, находящуюся в начале координат ? = 0. Тогда поверхностная плотность массы равна ?(?) = MS2 (^). Естественный масштаб длины в данном случае - радиус
