Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Определение 4. Лагранжевым расслоением называется расслое, ние, слои которого лагранжевы.
Определение 5. Пусть в пространстве лагранжева расслоения имеется (погруженное в него) лагранжево подмногообразие L. Тогда проектирование этого многообразия на базу расслоения называется лагранжевым отображением.
Одним из примеров лагранжева отображения является градиентное отображение: q >-> р = dS/dq. Лагранжево многообразие - это график этого отображения, расслоение - проекция (q,p) >-> р.
Выше было показано, что уравнение гравитационной линзы может быть записано в виде градиентного отображения.
4.4.2. Лагранжевы особенности
Оказывается, что лагранжевы отображения и их особенности играют важную роль при классификации особенностей семейств лучей, в том числе особенностей, возникающих в теории гравитационных линз. Пусть F(x,q) - оптическая длина пути от точки х, соответствующей источнику света до точки q многообразия наблюдения. Фазы волн на многообразии наблюдения определяются лагранжевым многообразием:
L = {{р, q) : В ж : QF/дх = 0,р = OF/dq).
Семейство F функций от а; с параметром q называется производящим семейством этого многообразия L, а также его лагранжева отображения (р, q) i-> q. Особенности лагранжевых отображений описаны в работе Арнольда (1983), так, в частности, одномерная каустика общего положения имеет особенностями (кроме трансверсальных самопересечений) лишь точки возврата (сборки) - типа Аз, двумерная
- лишь ласточкины хвосты (A4), и особенности D^ - пирамида, и D^
- кошелек. Поэтому, если рассматриваются каустические поверхности, возникающие в теории гравитационных линз, то в общем случае они могут иметь только особенности приведенных типов. Арнольдом (1986) указана связь лагранжевых особенностей с группами Вейля (кристаллографическими группами Кокстера, порожденных отражениями). ^ ij библиографические замечания 123
4 5. Библиографические замечания
ялиз уравнения линзы вблизи особенности типа складки следует резуль-атзм монографии Шнайдера и др. (1992). Координатно-независимое вы-жение для коэффициента усиления вблизи особенности типа складки подучено в работе Кайзера и Витта (1989). Ранее выражение для коэффициента усиления изображения вблизи особенности типа складки было получено в работе Чанг (1984). В частности, сечение усиления вблизи особенности типа складки представлено в книге Шнайдера и др. (1992).
Анализ уравнения линзы вблизи особенности типа сборки следует монографии Шнайдера и др. (1992), а также результатам работы Шнайдера и Вайсса (1992). В частности, сечение усиления вблизи особенности типа сборки представлено в работе Шнайдера и Вайсса (1992). Решение уравнения гравитационной линзы имеется в работе Манджоса (1995). Вывод выражения для коэффициента усиления изображения вблизи особенности типа сборки приведен, следуя работам Захарова (1995, 1996). Доказательство равенства нулю алгебраической суммы усилений различных изображений вблизи особенности типа сборки также приведен с использованием результатов работы Захарова (1995). Доказательство устойчивости особенностей типа складки и типа сборки приведено в книге Шнайдера и др. (1992). Для укорочения разложения в ряд Маклорена в окрестности особенностей типа сборки и складки может быть использован подход, предложенный в книге Брюно (1979), где, кроме детального обзора работ классиков (ведущих свое начало с анализа многоугольника Ньютона), приведены оригинальные результаты Брюно и других авторов. Приложение многогранников Ньютона к анализу особенностей гладких отображений имеется также в работе Арнольда и др. (1988). Приложения теории особенностей гладких отображений к теории гравитационных линз, в том числе, доказательство утверждения о четности числа сборок каустической кривой, приведены в работе Левина и др. (1993). Достаточное общее определение понятия расслоения и примеры его использования можно найти в книге Дубровина и др. (1986). Теория особенностей лагранжевых изложена в работах Арнольда (1983), (1988), Арнольда и др. (1988). Глава З
Волновая оптика гравитационных линз
5.1. Предварительные сведения
5.1.1. Пример асимптотического разложения
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
у" - к2д(х)у = 0, (5.1)
на конечном отрезке I = [а,Ь]. Предполагаем, что к > 0, функция q(x) вещественна, строго положительна и бесконечно дифференцируема при х ? I. В дальнейшем мы будем интересоваться асимптотическим поведением решения при к —> +оо. Будем искать решение уравнения (5.1) в виде
kS(x) у = е 1 '
ao^ + ia^^ + .-. + ian^) + ...! .
(5.2)
Технически удобнее искать решение уравнения (5.1) в экспоненциальной форме, а именно:
у = exp [?*(fca-i(t) + ao(t) + ^ + - + ^ + -) Л] ¦ M
Сделаем подстановку у'/у = w, тогда получим для функции w уравнение Рикатти
W + W2 = к2д(х). (5.4) С учетом использованной подстановки получаем
W = ка-^х) + о0(:с) + ^ai(Z) + ••• + ^a "(х) + ••• • (5-5'
Подставим это выражение в (5.4):
^ai1(Z) + fc?ao^a-^a:) + aL^®)] + ... = k2q(x) (5U и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к, получим
