Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
с
Шнайдеру и Вайссу (1992), введем обозначения жі = ^xі, = ^2,
1
2/1 = ^2/ъ 2/2 = р 2/2, отсюда получаем
1
Vl = Xl + -X2, у2 = XiX2 + SZ3,
где S = ас/62. Введем также обозначения S= 1 — 2s, yi = 2yi/35, у2 = y2fS и получим (Шнайдер и Вайсс (1992))
І1 = f г/1 - (4-54)
«2 - 301^2 + 22/2 = 0. (4.55)
Т.о., получена наиболее удобная форма для решения уравнения гравитационной линзы. ^? уравнение линзы вблизи сборки 115
решение уравнения линзы вблизи сборки
ранее было показано, что каустическая кривая вблизи особенности ^na сборки описывается полукубической параболой: j/f = у2. Полу-чиМ решение уравнения (4.55). Если у? > тогда точка находится внутри сборки, и имеется три решения уравнения (4.55). Действительно, дискриминант приведенного уравнения третьей степени равен
0=(§)3+(§)Я = -Й + Й<0, (4.56)
я уравнение (4.55) имеет три решения (Кострикин (1977))
f<l> = -2 sign(,2)^cos{coS-n,T(,)/^} f (4.57)
42) = -2 sign(y2)v/^cos j + ||, (4.58)
' 43) = -2slgn(^2)^cos j C0S'lfe + f } ¦ (4.59)
Будем предполагать (для определенности), что sign(0) = 1. Если мы рассмотрим точку вне области складки, то имеем D > 0, и тогда существует только один (действительный) корень уравнения (4.55). Представим это решение в форме Кардано (Кострикин (1977)):
41' = \J-V2 + \/y22-fi + \1~У2-фі~УЇ- ' (4.60)
Если iff = (т.е. точка лежит на каустической кривой), то имеется один однократный корень и один корень кратности два уравнения (4.55). Предположим, что у2 > 0, тогда = —2х^ = х^ = у/уї- Пусть У2 < 0. Если рассмотрим, аналогично предыдущему, отображение гравитационной линзы на оси у2 = 0, то получим из (4.57 -4-59) (при D < 0) 41' = -у/Ж, = yfifi, = 0. Тогда имеется следующее уравнение для критической кривой жі = (аГ2)2/2, а также Уравнение для кривой, которая является другим изображением критической кривой на плоскости источника Z1 = — (af2)2/4. При D > 0 Получаем из (4.55) (напомним, что рассматривается случай у2 = 0) = 0. Выражения для х^'' получаются из соотношений (4.60).
8* 116 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых той
------STejf
Сечение усиления вне особенности типа сборки
Рассмотрим область вне сборки, где уравнение гравитационной лИ() зы определяет взаимно-однозначное отображение. Пусть d2x ~ ЭЛе мент площади в плоскости линзы, соответствующий значению % с коэффициентом усиления р, тогда источники, которым COOTBeTCTBy
d2x
ет элемент поверхности d2y = - в окрестности точки у = ^(?)
усиливаются в согласии с коэффициентом усиления = Тогда сечение для усиления > fit вне сборки
= / ^(ІлОІ-Л.)^«, (4-61)
где H(г) - функция Хевисайда, и интегрирование проводится по области вне сборки. Преобразуем выражение (4.61), используя масштабированные переменные н = н/Ь2, d2x = |6/c|rf2a:, и получим
'М = І7І J ^)H{№)\-b2H,)d2x. (4.62)
Для вычисления интеграла рассмотрим кривые постоянного значения [І и получим
Эта кривая, соответствующая постоянному значению Д, пересекает образ каустической кривой в точке, для координат которой справедливо соотношение
(4-64)
Тогда, приравнивая правые части соотношений (4.63) и (4.64), получим 1/fi. = —§Sx\/%. Можно заметить, что знак величины S противоположен знаку ?. Отсюда получаем
41 = ^+(I5-I)"aIjSi' *я = 1VljSp (4-65)
т.о., область вне сборки может быть параметризована с помощью двух параметров: и Є [-1,+1] и /і > 0 (если 5 < 0) или н < 0 (если 5 > 0). Делая замену переменных в интеграле (4.62), т.е. переходя к ^ j Уравнение линзы вблизи сборки
117
цер'
еменным (и, имеем выражение для якобиана
д{\М
9|5|'
-5/2
(4.66)
0 получаем выражение для интеграла, характеризующего сечение
усиления
б3
ff M =
^J™ d\?\\?\-7/*H(\?-b^s) J+^ du.
Вычисляя значение интеграла, получим
cusps
где
CP =
8V2
15|с6| ^fb2 — 2ас
(4.67)
(4.68)
(4.69)
Суммирование в соотношении (4.68) проводится по всем особенностям
типа сборки, находящимся в плоскости линзы.
Получим координатно-независимое выражение для коэффициента /і)
Cc подобно тому, как это было сделано для особенности типа складки. Обозначим через T касательный вектор к критической кривой
T = Я (тг/2) (Vdet А), (4.70)
где Щф) обозначает матрицу поворота в плоскости на угол ф. Для особенности типа сборки имеем AT = 0. Нетрудно заметить, что
с = tr А, \Т\ = |6с|, \{Т • V) • (АТ)| = Зс2|6| |62 - 2ас\. Т.о., получаем
8\/б /
с<'> =
__ItrAI
15 У ITII(T-V)-(AT)I'
(4.71)
(4.72)
Следуя Шнайдеру и Вайссу (1992), можно получить еще одно выражение для величины СІ0. Рассмотрим следующую параметризацию критической кривой
7(A) =
б2 — Зас 6с
A2
(4.73) 118 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых Totll Тогда получаем
d I Q62-3acV
^7(Л) =I2 6с А
1
(4-74)
Для матрицы Якоби вдоль критической кривой имеем выражение
с 6А
aW = • 6Л ^Г
(4.75)
тогда
А±( A> = 3(6»-2ac>($
(4-76)
d ( d
A=Q
Отсюда имеем
і (*>>)
A=Q
