Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Vi-V- = Z^Usazn - Y^Uszn = (1 + Zn)[Z + Y]. (2.116)
Матрицы Y и Z могут быть вычислены из соотношений (2.114) и (2.115), рассмотренных при Zn-1 и zn+i соответственно. Используя обозначения D(zi,z3) := Dij и Di := D(zi), имеем
ВйЬ і"- - ' кЬг ("« - ¦ (2"7)
Подстгшляем (2.116) и (2.117) в соотношение (2.74), используя соотношение взаимности Этерингтона
P(zi,z)\z=z2 _ P(z2,z) I S=S1 1 + Zl 1 + Z2
получим для матрицы Dn+i
Т) _ п тт ті 1 Zn~1 ^«,«+1 Tt ,
^n+1 = —Un,n+lUnVn--—- "p;-Pn-I +
1 + Zn Un-i1ti
+ Гі + zn_i Dn,n+iD i D^i] Vn L 1 + zn Un-itnUn Un
Покажем, что соотношение (2.118) эквивалентно рекуррентному соотноше-tniloI полученному для матриц Якоби в теории гравитационных линз (Зайц и Шнайдер (1992)). Для того, чтобы доказать эквивалентность, перепишем 62
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
соотношение (2.117) в безразмерной форме. Введем безразмерную матрицу отклонения, связанную с матрицей U(?) следующим образом:
Un+і Uj
и определим безразмерные матрицы Якоби Aj(Xj) = V3(DjXj)/Dj. Onpe-делим геометрические величины
o,:=i±fl^A±li 0<І<ЛГ, tH-.=-J^, 1 <i<N
C Uiti+1 V Oi
и
?,j := n'3nN+l ' l<i<j<N + l. (2.119)
Uj Uitn +1
Тогда, как показано Зайц и Шнайдером (1992), получаем
An+i = -?n,n+iUnAn - V2nAn-1 +(1+ vl)An = TnAn - V2nAn-1, (2.120)
где 2 X 2 - матрицы Tn определены как Tn := (l + vn)l — ?n,n+iUn, 1 < п < N с начальным условием Ai = Т. То же самое рекуррентное соотношение для отображения матрицы Якоби получено в работе Зайц и Шнайдера (1992), как следствие стандартной теории гравитационных линз. Т.о., показано, что соотношение (2.120) может быть получено непосредственно из геометрической оптики.
2.2.7. Угол отклонения, уравнение линзы
Рассмотрим два луча 70 и ~fi, причем их касательные вблизи точки пересечения поворачиваются на угол в, и предположим, что этот угол достаточно мал, TciK что можно считать, что лучи приблизительно параллельны.
Будем рассматривать один из этих лучей, скажем, луч 70, как "центральный". Тогда имеется экран, адаптированный к этому лучу, и экранное положение луча ~fi характеризуется вектором $'(z) при значении красного смещения 2. Рассмотрим эволюцию вектора разделения от наблюдателя (2 = 0) до источника (га = 2jv+i).
Поскольку вектор ?7(z) удовлетворяет уравнению девиации Якоби (2.13), где T= HbgI вне неоднородностей, то отсюда следует, что каждый компонент вектора разделения удовлетворяет дифференциальному уравнению Дайера-Редера. Будем обозначать положение луча 7(относительно 70) в j-й неоднородности вектором тогда для вектора разделения между (п — 1) и n-й плоскости линзы имеем соотношение:
?'(2) = ail + r^-uzUu*), <*<*»• (2-121)
r(2„,2„_l) r(Zn-l,Z„) -
Заметим, что r(zn,z) и r(2n-i,2) - пара линейно независимых решений ургшнения Дайера-Редера, и подстановкой значений zn и г„_і можно получить корректные граничные условия. 2 2 Вы вод уравнения линзы 63
В случае, если нет неоднородности при z„, то соотношение (2.121) выполняется и для Z > Zn. Но поскольку при этом значении Zn имеется неод-ородяость, то необходимо это учесть и вспомнить также, ЧТО ДЛЯ Z > Zn тЯческая приливная матрица равна T = ІЇ-ьдІ. Поправочная функция, которую необходимо изменить соотношение (2.121), есть решение B(z) уравнения Дайера-Редера. Т.о., получаем при zn < z < zn+i
«'(*> = rihZ) A1 + rr<zn~Uz\^ - (2-122)
' Zn-IJ lyZn—liZn)
Поскольку Cn((i) - ненулевой вектор, то величина В обращается в нуль при Zn- Заметим, что производную В при Zn можно выбрать т.о., что
dB( А) d\
(1 + Zn). (2.123)
Тогда B(z) = D(zn,z). Угол отклонения
Определим производные вектора разделения двух лучей по отношению к аффинному параметру до и после п-неоднородности:
Т.к. имеет место соотношение dDprop = (1 + zn)d\ для наблюдателя при Zn, TO
eOUt = (1 + Zn)tn+, е,п = (I + Zn)kL (2.125)
угловые направления луча у1 относительно луча 70 до неоднородности -п и после пересечения неоднородности Є out. С помощью соотношений (2.120, 2.121, 2.123) получим
С - tL = Km 4s(An + ДА)с„(?') = -(1 + zn)cn(d), (2.126) да\о ал
Что с учетом (2.125) дает eout -еы = -Cn(Z1n)- Отсюда следует, что Cn(^1n) ~ Разность углов отклонения для положения, соответствующего значению экранного вектора (п, и положения, соответствующего значению экранного вектора (п = О. Рассмотрим величину вектора Cn(^h) как функцию поверхностной
плотности массы E в неоднородности и покажем, что эта 8еличина равна разности углов отклонения схп(?п) — Qn(O), используемых 8 теории гравитационных линз.
Рассмотрим семейство лучей, образующих инфинитезимальный пучок с Центральным" лучом yj. Обозначим векторы пучка в плоскости п-й latll3W как („ = (п + А(п, а их угловое положение относительно луча 71 64
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
для наблюдателя обозначим А8. Рассмотрим отображение Якоби и его производные для этого инфинитезимального пучка в неоднородности
IЧ d&tn_
дА0 ' 9Д0 '
Получим с помощью (2.126) соотношение для разности этих матриц 1>№п) -Vntfn) = -(I +*п) (?11
