Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
-Pm-1X-J^Pm-1 За cim— 1 V- трт \ ,
"TT^ "2(Гн^2 "Ijcfc^r
+ vi Sm0 + w±+26ml}. (3.377) Общее решение уравнения уравнения (3.371) имеет вид:
Up = AtUi+BbU2+ U3, (3.378)
где At и B^ —произвольные постоянные. Выпишем результат для Vp ((—1)!! = 1):
OO
Up = {M^sk(s3\ns)m+ N^1Sk{s3\ns)m\nsy (3.379)
k%m=О 262
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Здесь
мг = ? (АСТ-1 + BDT~l + ET~l)' (3'380)
(3-381)
Первые члены разложения (3.379) имеют вид:
uf = -ZJf + Y^5) ln5 + 0V ln5) + F±' (3'382)
где F±—степенные ряды по S, Df = — (TVq )—произвольные постоянные.
Таким образом, мы получили разложение образов Лапласа возмущений метрики в окрестностях точек р = ±i. Эти разложения имеют вид (3.365), (3.366), (3.370) и (3.382). Индекс "плюс" в этих выражениях относится к разложениям в окрестности точки р = г; при этом s = 1 + ip. Индекс "минус" относится к разложениям в окрестности точки р= — і; при этом s = 1 — ip.
Осталось определить разложения функций рр и Xp в окрестности точек р = 0 и р = ±І/у/3 и функции Qp в окрестности ТОЧКИ P = 0.
В окрестности точки р = 0 решение уравнения (3.347) для скалярных возмущений имеет вид степенного ряда по р. Подставляя в (3.346) и (3.341), (3.342)
oo
п=0
получаем
^ = + + (3.383)
рр + Xp = jplnp+ L2, (3.384)
где L\ и L2—степенные ряды по р.
Уравнение (3.350) для Qp после разложения коэффициентов по степеням р принимает вид:
8iv jl
, Г + TT- f E ^Pk} = TTTV+E ¦ (3-385) 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
263
Общее решение этого уравнения есть
OO OO
Qp = Yl Ckpk+J2 Bk?k ln^ (3-386)
к—0 к—О
где Со и Ci—произвольные постоянные, а остальные коэффициенты находятся из рекуррентных соотношений:
к-2
(2* - l)5fc + к(к - 1)С* + T1 viCk-i-2 =
= »-2 + 7^^1- (3-388)
1 -f а
Вычислим несколько первых коэффициентов Bk :
„ „ Sivlm „ „ 32а .
^o = O1 B1 = -, ,B2 = O1 =
(3.389)
Первые члены разложения (3.386) имеют вид:
^r&I'-snr^W+*- <"90>
где F3 —степенной ряд по р.
Для нахождения разложений рр и Xp в окрестности точек р = = ±?"/\/3 введем переменные S-Ii ір/у/3 и разложим коэффициенты уравнения (3.347) по степеням s:
^ + (»si)
U=O / /=0
Здесь
Коэффициенты а/ и gi находятся из равенств
а Г 3 +—^+ 6-18(1 +р2)+
3(1+а) 1(1+р2)2 1 + р2 264
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
+9ір(1 + „>,„ (E^i) ] - _і_ [_J_ + _±_] = g одЛ 1 1 °°
s,=o
Одно из независимых решений однородного линейного уравнения, соответствующего (3.391) имеет вид:
oo
= (3.392)
п=0
где
1 n_1
A0 = I, An =---——S^?kAn-k-i.
Второе независимое решение однородного уравнения имеет вид:
oo
R2 = Rilns+ Y^BnSn, (3.393)
п=0
где
я _ Ao _ 1+а
"Г' 1 " '
Tl — 1
\(9п - А.. ,J-
Частное решение однородного уравнения (3.391) есть
Bn = -,1^1, [(2п - 1)і4„_І + J^Afln-fc-i], n > 1.
R3 = J2Dnsn+\ (3.394)
n=0
где D0 = O,
Tl — 1
ї_„ а
l(n + 1)
n(n +1) L ' J
к=о
Общее решение уравнения (3.391) есть
R = CiRi + C2R2 + R3, (3.395) 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
265
где С і и С-2 произвольные постоянные. Подставляя (3.395) в (3.346) имеем:
уР = i(l - s)(2 + 25 - в2) ? J^frZ+2 1" « + V*, (3.396)
k-I) * '
где Vi—степенные ряды ПО S ,
G± = 9 Дс ff "у (-l)m+1(2m+l)!!(2f+l)M * 2» 2 2пҐотҐо^о 2m+'m!/!(>/3 — l)m(\/5+1)'
x(n-n»-/+l).4±_m. (3.397)
Наконец, из (3.341) и (3.342) получаем разложения в окрестности точек р = ±i/ v/3 для и Ap :
OO
/л,. = ^ Р±«в+1 In S + Wf, (3.398)
п=0
Л»г + Аг = 1 - *)2(2 + 2« - в2) ? 1"«+
/С =O
1 сю
+ 9(1 " e) S (Tf2)**+2 ІП* + (3"399)
где H^ffc И —степенные ряды ПО S = 1 ± ip/ \/3 ,
Pn = ^(26«n + 2(7,.., - С„_2) - InGn-, - l"f JjTIYy (3-400)
/?=0 v '
Здесь Gn = 0 , если 71 < 3.
Первые члены разложений (3.398) и (3.399) имеют вид:
і 1 4- Чґу
^ + xP = zf^1 + rjh^ ^elne + 0Vlns) + (3.402)
Здесь =
±г(2/27)х/36'ц произвольные постоянные. 266
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Переходим к нахождению асимптотик коротковолновых возмущений, т. е. возмущений с длиной волны много меньшей светового горизонта:
. 2яга
Ap =-< ctc.
п
Здесь Ap—длина волны возмущения, tc—космологическое время. В наших обозначениях это неравенство соответствует неравенству t = = щ > 1 .
Подставим разложения (3.365), (3.366), (3.370), (3.382) в (3.356) при интегрировании по части пути, прилегающему к точкам р = ±i (см. рис. 3.1). Разложения (3.401), (3.402) подставляем в (3.356) при вычислении вклада от точек р = ±і/у/3 и, наконец, разложения (3.383), (3.384), (3.390) подставляем в (3.356) при вычислении вклада в интеграл от точек р = 0 .
Используя формулы [92]
I dp( 1 ± ijp)n ln(l ± iyp)exp(pt) = 2m J
с±
(Т»)п+27пП!
ехр , (3.403)
tn + l
где 7 = 1, v/3, а С± —части контура, огибающие точки р = ±і/7 , и формулу
1 Г (-1)п+1п]
— j dpexp(pi)pn Inр = 1 (3.404)
где Со —часть контура, огибающая точку р = 0 , приходим к следующим результатам при t = nrj 1:
