Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Нх'\р«>) = 1(х*,Ра), (1.11) 1.1. Релятивистская кинетическая теория
13
где Xх' — х%'(xk), pi* = (дхк/dx%'^j рк .
Действительно, функции Ф и S(y/g{jpipj — гас) инвариантны. Таковой же является Q(P4), так как знак р4 является инвариантом, если ограничиться только физически допустимыми системами отсчета.
Плотность числа частиц и тензор энергии—импульса выражаются через семимерную функцию распределения f(x\pa) следующим образом:
»' = / (1-12)
T^ = с J -^р'У/(*>„). (1.13)
Здесь р4 определяется через ра из уравнения (1.10). Для получения этих выражений нужно подставить (1.8) в (1.6), (1.7) и проинтегрировать по р4 , воспользовавшись свойствами дельта-функций: %<*» = ?
где Za—корни уравнения <p(z) = 0. Величина
d3p _ dpidp^dps
у/Чра У/ЧРА
является инвариантом относительно преобразований координат. Эту величину называют инвариантным элементом объема в трехмерном импульсном пространстве.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать инвариантность элементов объема
d4p d3p >/-Т \Fr9VA
в четырехмерном и трехмерном импульсных пространствах.
2. Доказать инвариантность произведения дельта-функций 14
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
1.1.2 Весстолкновительное кинетическое уравнение
Запишем тождество
Jds±[S*(z* - x'(()(S)M4(Pj -pf (5))] = 0.
Выполнив дифференцирование под интегралом, мы получим с помощью (1.2) и (1.3):
Если пренебречь взаимодействием между частицами, то gij —это метрика внешнего гравитационного поля, не зависящая от движения частиц. Поэтому усреднение по траекториям уравнения (1.14) приводит к следующему уравнению на одночастичную функцию распределения:
+ ? PW)-. а-»)
Уравнение (1.15) называется бесстолкновительным кинетическим уравнением.
В последующих параграфах будет показано, что уравнение (1.15) остается в силе и в том случае, когда частицы сами создают гравитационное поле, но газ достаточно разрежен так, что взаимодействием частиц друг с другом можно пренебречь. В этом случае дij —это метрика самосогласованного гравитационного поля, создаваемого всеми частицами. Оно определяется из уравнений Эйнштейна
Gj = (1.16)
Здесь Gj—тензор Эйнштейна, G—гравитационная постоянная, с — скорость света, Tj —тензор энергии—импульса вещества, определяемый с помощью одночастичной функции распределения по (1.7).
В этом случае уравнение (1.15) называется уравнением с самосогласованным полем Власова.
Непосредственным вычислением проверяется тождество 1.1. Релятивистская кинетическая теория
15
С помощью (1.17) бесстолкновительное кинетическое уравнение (1.15) принимает вид
•дФ и дФ
Если мы в качестве независимых переменных выберем вместо ко-вариантных контравариантные компоненты рг импульса, то уравнение на Ф принимает вид
W-tW^W = 0- ^
Получим бесстолкновительное кинетическое уравнение на функцию распределения f(x* ,pa), определенную в семимерном фазовом пространстве. Для этого подставим (1.8) в (1.18) и проинтегрируем уравнение по р4:
Если перейти в (1.20) к новым независимым переменным хг и ра , то кинетическое уравнение приведем к виду
Jw-^W=*- (L21)
В уравнениях (1.20) и (1.21) греческий индекс а пробегает значения отводного до трех. По этому индексу так же как и по латинским индексам, пробегающим значения от одного до четырех, подразумевается суммирование.
УПРАЖНЕНИЕ
3. Доказать тождество (1.17).
1.1.3 Бесстолкновительное кинетическое уравнение в ковариантном виде
В дальнейшем мы будем часто использовать понятие тензора в пространстве опорных элементов. Пусть дано преобразование координат
Xі' = Xil(Xk)i (1.22) 16
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
индуцирующее преобразование импульсов
Oxi
Набор Tjl%j\\ "jrq(xtiPj) из элементов, зависящих от координат и импульсов, заданных в каждой системе координат, называется тензором (г раз контравариантным и q раз ковариацтным), если закон преобразования для них при переходе от одной системы координат к другой по закону (1.22), 1.23) имеет вид:
rpixi'^-i'rt / /\ _ ^x*'1 ®х%'2 дхгг dxjl дх^2 дх^ ^ilI2...%r( \
rJlJi^x >р > - fahfah '' 'д^д^д^ '''
(1.24)
В частности при г = q = 0 имеем скаляр. Примером скалярной функции в пространстве опорных элементов является одночастичная функция распределения Ф(ж,р). Ковариантные векторы в пространстве опорных элементов преобразуются по закону (1.23). Pj —пример ковариантного вектора (один раз ковариантного тензора).
Контравариантный вектор (один раз контравариантный тензор) преобразуется по закону
• Bxi'
a'=a3h- (L25)
Обратимся к бесстолкновительному кинетическому уравнению (1.18) и введем обозначение V,- для оператора ковариантного дифференцирования по Картану в пространстве опорных элементов (см. [8]). В случае римановой метрики координатного пространства кова-риантная производная по Картану от тензора ^11]*.'..], > зависящего от опорного вектора р%, определяется как
Qrpi 1І 2 І г
Г7 ПЛІ 1Ї 2 • • ir _ JlJ2--Jq , ТлІ\ rpki2 -.«г і
J І J12 • • jq ~ Qxi ^ L ikIjlj2..jq~t'
і ¦рІ2гГІік. .Jr і і ТлІ rfpi 1*2---k _ р/с rpiii2...ir_
