Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
ф (s, a) -f- <p (t), s = Q (а) t удовлетворяет уравнению (X1.2), а
линеаризированное уравнение для возмущения <р (t) имеет вид
-^2- = Ft)(p, ф|<р), р = р(а).
Так как ф (s, а) ? р2я", то для исследования устойчивости можно
использовать теорию Флоке для построения спектральной задачи. Полагая
<p = ev/?(s), ?(-)?р2яп,
находим, что
и? _ def "_
vg -+ ф|Е) = Л2, (XI.104)
где
J(oc) = - Q(a)^- + F" (p(a), i|>(s, a|-), dom I (a) = р2Ж1, и, так как
(й(а), -ф (s, a), p,(a)) = (co0, U0(s), p0) при a = 0, to
J(0) = l.
Нас интересуют возмущенные собственные значения, такие, что
v (0) = 0.
Заметим, что ф (s, а) является нуль-вектором (собственный вектор в
нулевым собственным значением) оператора j для всех а:
$(<х)ф = 0. (XI.105)
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 279
Для решения задачи (XI. 104) (нахождения ? и v) используем теорию
возмущений. Собственную функцию ? (s, а) можно разложить на часть ф (s,
а), принадлежащую нуль-пространству оператора Л (а) и нейтральную в
смысле устойчивости, и другую часть g(s, а), которая определяет
собственное значение v (ос), зависящее от а и определяющее характер
устойчивости:
?(s, а) = С (а) jg (s, а)+-1||ф(8, а)}. (XI. 106)
Разложение (XI. 106) не является единственным, так как, во-первых, пока
не требуется, чтобы ? (s, а) не содержала части, пропорциональной ф(в,
а), и, во-вторых, С (а) и т (а) - произвольные функции. Чтобы более точно
конкретизировать это разложение, потребуем, чтобы вектор
def
5(s, 0) = ?0 (s) не содержал части, пропорциональной
ф(в, 0) = Uo(s) = Zo.
Это требование можно выразить в виде условия
[5. Zj]2nn = 0. (XI. 107)
Разложение (XI. 106) можно полностью конкретизировать, если, в дополнение
к (XI. 107), ввести другое условие, определяющее амплитуду вектор-функции
g(s, а). Тогда v(a) и т(а) можно найти методом возмущений. Так как
?(s, а) удовлетворяет линейному уравнению,
то нормирующая функция С (а) остается неопределенной и может
быть выбрана произвольно.
Уравнение для определения ? найдем в результате подстановки (XI. 106) в
(XI.104):
тф + v? = &, ?(., ос)?р2яп. (XI.108)
Если а = 0, то (XI. 104) приводится к виду
лб. = о.
Тогда (XI. 108) принимает вид
т"й0 = Л?0. (XI. 109^
Результаты первых двух дифференцирований уравнения (XI. 108) по а при а =
0 приводят к уравнениям
т(1>й0 + т0ф'1) + v">?0 = J)?<*> + 1Ш?0, (XI. 109),
т(2)й0 + 2тшф(1> + т0ф,2) + vl2)?0 -j-2v(l)?(1> =
= J?(2> +2 j11'?"1 + Р>?0, (XI. 109),
280
ГЛАВА XI
где ?a)('). ?,2,(-)€Р2
а
ds
^"(.) = -fi""^ + |i'1>FMO0*o, Uo|-) + Fw(|i" Uol4>(1)|-).
|(!,(.)=fiu)^ + ^>F|i"(^o. и.|-) + (|*'")*Рдд0(|*о, U.I0 +
+ 2|лп)РцТО(^0, и0|^(1) |-)+FOT(n0, ио|'Ф<2)|-) +
+ F^ (|*о. U.l4>(1)H>a)|-).
def
Напомним, что U0(-) = Z0, a [Z0, Zj]3"" = 0.
Рассмотрим задачу об устойчивости, когда п = 2. Тогда
р(1> = 0, Q(1> = (о(1) = ц(1) ю, = 0, U(1)(s) = fi(1)01(s) = 0,
Ъ (s) = - Y(1) (s) = -Z, (s), Q<2> = + fFvv (p0, U01 Zt | Zj), Z0*]4",
U'2>(s) = p(2>01(s), t0 = 0.
Условие (XI. 107) вместе с условием нормировки [g0, Zj] = 1 дают ?0(s) =
Z1(s) и i'"g" = -fw0io, UolZJZJ.
Уравнение (Х1.109)2 разрешимо, если [J)?(1), Zj]4n = [Jg(1), Zo]4n = 0.
Первое из этих условий дает (см. уравнение, приведенное после (XI.64),).
V<U = -[FW(|1", U0 |Z41 ZJ, z0*]4Jt=o,
а второе приводит к уравнению
t(l,=-[F,>0. U0|Z 1|zt), г;]4Я=(о(2"-й<2).
Тогда уравнение (XI. 109)3 можно преобразовать к виду
Jg^-F^Oio, UolZ, |Z,)-[Fw(|*0)- U01 Zx | Zx), Z0*]4JtZ0. (XI. 110)
Сравнивая (XI. 110) с (XI.67)2, заключаем, что
gu> _ y<2>. (XI. Ill)
Теперь можно переписать уравнение (XI. 109)3, используя соотношения,
которые были указаны в предыдущем абзаце:
т(,>г0 + 3[Ро"(Ро. U01 Z4| ZJ, Z0*]4nZ,+v'2>Z1=:
= W'-3F" (р0, U01 Z41 Y(2)) + p<2> {fZ, -(DjZj) +
+ F^(9o. UoIZJZJZ,). (XI.112)
Проектируя (XI. 112) на Zj и сравнивая получаемый результат с (XI.72),
находим, что
vl2) =-2р(2>!1, v(a) =- p^'^a2 + О (a4). (XI. 113)
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 281
Уравнение (XI.113) показывает, чтосубкритические решения неустойчивы, а
суперкритические решения устойчивы, если а мало. Проектируя уравнение
(XI. 112) на ZJ, после небольших вычислений, подобных тем, которые
привели к уравнению (XI.73), находим, что
т(2) = 0.
Переходя теперь к субгармонической бифуркации с п = 3, отметим, что
Qd) = Ю(1) = (Ха)ш1 иа> (s) = pU)U, (s),
(S) = pU)U, (s) - Yu\ YU) = е'ф"Zj + е~'ч>° Zu Zi==eMm/8)sro(S),
r0(s)€Pu, m= 1 или 2, a xo = 0.
Вектор ?0 является линейной комбинацией независимых нуль-векторов
оператора Л, а из условия (XI. 107) следует, что существуют комплексные
постоянные С0 и С1( такие, что
Со-ед+ед. (XI. П4)
Уравнение (Х1.109)а можно упростить, используя приведенные выше
соотношения:
tu)Z" -f- v(1)C0Zj -f vu)C1Z1 =
= Л?ш + C0p<l) {fZ, -(c).Z,} + Ci {^Zx - ^z,} -- C"F^ 0*e, U" | е*ф. Z, +
в-'ф. Z, IZt) -
- CjF^lPo, Uole^Z.+e-^Z, |Zt).
Проектируя это уравнение сначала на Zj, а затем на Z*, находим, используя
(XI. 19) и (XI.79), что
