Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
JZj = 0 и
a (a) = а для -у = у, у, (Х1.45)а
а(а) = ае1(Р(а) для -у=^у, у. (Х1.45)3
Для параметризации бифуркационного решения лучше использовать
параметр ос, а не р. Вектор-функция Y (s, р) разложима по степеням )/|р-
р0| всегда, когда dp (0)/da = 0 и d2p (0)/doc2 Ф 0. В этом случае, как и
в случае dp(0)/da Ф0, разложения в ряды функций
def del def
р=р(ос), U(s, a) = U (s, p(a), to (a) = со (p (a)),
def - _ del ~ def --
ip(s, a) - ф(^, p(a)), Q(a) = Q(p(a)), Y (s, a) = Y (s, p (a)) содержат
целые степени a. Примем для производных обозначения
/ ч дп(•)
при P=='Uo> при а==0
и будем искать решение, определяемое функциями ф (s, ос) = "= a|3(s +
2nn, ос), Q(oc) и Y (s, oc)=Y(s-|-2nti, а) в виде рядов. С другой
стороны, функции U (s, р) и со(р) рассматриваются как заданные;
предполагается, что они известны из проведенного предварительного
вычисления бифуркации Хопфа. Отсюда следует, например, что
ш"> = р">(c)1 (XI.47)
и так далее, и поэтому (•)" можно вычислить, если известны р(1), ...,
р'"'.
Чтобы ф(э, а) заведомо не совпадала с фазой производной от функции U (s,
а), потребуем, чтобы Y (s, а) не содержала части, пропорциональной U(s) =
Z0(s), т. е. чтобы
[Y (s, ос), Z0*]2nn = 0. (XI.48)
(Обсуждение смысла условия (XI.48) дано во введении к настоящей главе).
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 267
§ XI. 10. Решения бифуркационной задачи в форме степенных рядов
Обратимся теперь к построению функций i|j(s, а), р(а) и ?}(а) в виде
степенных рядов по а:
"U (s, а) - IIо (s)_ 'U'"' (s)"
ф(в, a) -U0(s) ф'"' (s)
Y (s, a) со (a)-co0 1) iM8 Y<"> (S) co'n)
Q(a)-co0 Q'"'
_ p (a)-p0 p'">
где
U (s, а) = U (s + 2jx, а),
4|)(s, а) = ф (s + 2я, а),
Y (s, а) = Y (s + 2n, а), (XI.50)
a
a">=[Y"\ z;un,
0 = [Y'", Z0*]2"n, />0, (XI.51)
Коэффициенты рядов (X1.49) можно найти из решения уравнений, получаемых в
результате дифференцирования уравнений (XI.4) и (XI.43). Производные от
решения Хопфа удовлетворяют уравнениям
со'1' U0 = Ли'1' + p(1)Fn (р", U0), (X 1.52)1
co'2'U0 + 2(о(1,иш = Ли'2' + 2ц'1' (р0, U01 U'1') +
+ FTO(Po, г/01 I и"") + F,^ (Но, и0) +
+ Р(2П(р", U0), (XI.52),
со'3'й0 + Зсо^'й'1' + 3co(1)U'2' = ли'3' + 3p'2)Fw (р0, U01U'1') +
+ 3FTO(p0, U01 U(1) | U'2') + Fvvv (р0, ?/"1 U'1* | U'1' | Ua') +
+ Р<3)Рц(Ро. + и0|11'2)) + и.ч.б.н.п.), (XI.52),
где и. ч. б. н. п.- известные члены более низкого порядка малости,
(r)ШС0 = Л11'" + p'"Fw (ро, Uо) + /р'*"1' F^ (ро, U" | UU)) + (и. ч. б. н.
п.),
(XI.52),
где t/'"(s) = t/'n(s-f2я), а Л(-) = - co0d/ds-f Fj,(p0, U01-)•
Производные от субгармонического бифуркационного решения удовлетво-
268
ГЛАВА XI
ряют уравнениям
fi(lWe = Jli|>"> + H'1>Fll(nef U0), (XI.53),
Q'2>U" + + 2p(1)Fw (p0, U01 ф(1>) +
+ Fw(n", U0|^4^>) + (p(1,)2^(^o. UoR^'F^o. V"), (XI.53),
QWU0 + 30'2,ф11' + 3Qa4l2) = Jh|>,3) + 3p(z)/v (p", U01 ф(1))+
+ 3/^0. U01 ф11' | ф(2)) + ?vvv (p", и0|'ф<1>['ф(г>|'Ф(1>) +
+ ^13,Рц(р", U0) + ^{3Fvil(^, 1/"|ф(2)) + и. ч. б. н. п.}, (XI.53)3 QUl
U" = Ца' -f (p", U01 ф(1)) + р<г)Рц (p0, U0) + (и.ч.б.н.п.),
(XI.53)4
где фш (s) = фш (s + 2лл).
Уравнения для Y<n) = U(n)-ip'"' можно получить вычитанием.
Вспоминая, что U0 = Z0, находим, используя (Х1.52)4 и (XI.53)^ что
(шш-?2(1))Z" = JJY(1). (XI.54)
Так как [J)YU), 2о]2Лп = [У(1), Л*2о]аяп, то получаем
(сош-Я*1') [Z0, Z3]2nn = <Ba)-Яш = 0 (XI.55)
всякий раз, когда J*Z0' = 0. Так как последнее уравнение выполняется,
если нуль не является двойным собственным значением оператора J" с
индексом два, то почти во всех случаях имеем (o(1) = Q(1). В
исключительном случае, когда п= 1, а нуль есть собственное
значение с индексом два оператора /0, получаем, используя (Х1.51)4 при
аа) = 1, Z0 = r00, Z0* = r0*0, z; = r;u что
(со*11-Яш) = [Ya), Jl*r*0] = [Y"1>, Г0\]=1 (XI.56)
не равно нулю.
Отсюда следует, что в общих случаях бифуркационные решения являются
строго гармоническими до членов порядка a, a YU) удовлетворяет уравнению
JY(1) = 0. (XI. 57)
Заменяя в (Х1.53)2 ф(1) на U(1) - Y(1), получаем
FW(|V Ч01 Фи) | Ф(1)) = FOT (p", U. | U"* I U*")-
-2FOT(|io, U,|U(1>|Y'") + Fw(jio. U"|ra"| Y(1>). (XI.58)
Затем, вычитая (X1.53)2 из (XI.52)2 и используя (XI.55), получаем
(",">_Q">) Z0 + 2(o(1)Ya> = IY(2) + 2p(1>Fw (p0, U0 | Y(1>) +
+ 2Fvv(ii0, U,|U(1)|Y">)-Fw(m" U" | YU) | Yll)). (XI.59)
Уравнения (XI.57) и (XI.59) не имеют места в исключительном случае (л =
1) двойного нулевого собственного значения с индексом два; корректные
уравнения для этого случая приводятся в§ XI. 13.
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 269
§ XI.11. Субгармоническая бифуркация для п = 2
Приведем эту задачу к задаче бифуркации 2Т-периодических решений в случае
Т-периодической правой части эволюционного уравнения. Эта задача была
изучена в § IX. 12. Задача для п- 1, также исследованная в § IX. 12,
имеет некоторые новые особенности, которые будут рассмотрены в § X1.13 и
§ XI.14. Субгармонические решения автономной задачи являются строго
субгармоническими относительно приведенной переменной s (см. § XI.8).
