Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
получаем квадратное уравнение относительно Е, решение которого имеет вид
/•: = -~-^0)-- ± 4-. /( I - Ъ (0) -р В)2 + 46' (к2 Н- а (0) - А) ,
(4.15)
С точки зрения проведения вычислений на ЭВМ, интегрирование формулы
(4.15) по к лишь немногим сложнее, чем интегрирование исходного выражения
(1.31), тогда как точность расчета может заметно повыситься.
Уравнение (4.15) имеет вид решения, существовавшего в двузонной модели
(гл. 1, (1.14)). Однако если в той модели "расщепление" законов дисперсии
происходило относительно "среднего уровня" (к2 + (к + g")2)/2, то в
данном случае член с к2 находится под корнем, а "расщепление"
осуществляется относительно "среднего уровня" (-1 + Ь(0) - В)/(2С), в
котором нельзя выделить параболу к2, характерную для модели свободных
электронов.
Выражение (4.15) напоминает теперь "расщепление" законов дисперсии в
модели J1KAO, которая была предназначена для описания узких зон. Таким
образом, учет энергетической зависимости формфактора вносит в модель ПСЭ
черты модели J1KAO, и чем сильнее эта энергетическая зависимость, тем
отчетливее будут проявляться характеристики модели JIKAO. В предельном
случае, при резонансной зависимости от энергии, мы должны увидеть
появление узких зон, типичных для модели J1KAO.
Влияние энергетической зависимости формфактора на ширину зоны видно и из
выражения (2.172). Действительно, из (4.4) (4.5) следует, что сумма
коэффициентов ортогонализации должна быть больше нуля, т. е. по отношению
к притягивающему потенциалу член 2 Еа. +4 | а> <а | к) является
компенсирующим:
TH(q) = "(q) + Eb(q),
(4.14)
где
С V 1 ь(8п) I2
(4.16)
а
Ю Л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
146
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
его добавление к формфактору исходного потенциала уменьшает этот
формфактор. Ясно, что если в качестве Е мы будем брать максимально
возможное значение, величину энергии Ферми кристалла Epv, то компенсация
будет завышена, а величина формфактора занижена. В модели ПСЭ уменьшение
возмущения приводит к ушнрению разрешенных зон, а увеличение возмущения
(т. е. использование энергий меньших, чем ?f-p) вызывает их сужение, как
мы и предполагали.
Можно сделать общий вывод, что использование формфактора, не зависящего
от энергии (в приближении "сферы Ферми"), должно приводить к более
широким зонам, чем применение зависящего от энергии формфактора, который
учитывает изменение компенсирующего вклада для различных состояний в зоне
проводимости.
3. Явление "оттеснения" решений. Приступим к рассмотрению сингулярной
зависимости от энергии. Начнем с пулей знаменателя поправки второго
порядка теории возмущений Бриллюэна- Вигнера. Перепишем (1.30) в виде
E = EW( к)-2г=7-' <4Л7)
п п
где Е{1) определено выражением (4.11) п
Я"= l<k + gJlElk>|2.
Обозначим неизвестное пока решение уравнения (4.17) через Ех. Пусть Ех
таково, что находится вблизи какого-то значения б,". Тогда в (4.17) важен
только член с п = т, и мы получаем
= (4,8)
Если псевдопотенциал таков, что Е(1) = ет, то Е± = ет± \Вт\, и мы
встретились с явлением снятия вырождения, которое мы разбирали во
Введении, п. 5 с помощью секулярного уравнения для двузонной модели.
Формула (4.17) отвечает мпогозонной модели; каждый (я-й) член в (4.17)
приводит к поправке к Ех, препятствующей совпадению Ех с еп.
Можно сказать, что наличие полюсной особенности в энергетической
зависимости формул теории возмущений приводит к своеобразному эффекту
"оттеснения" результирующего решения от энергии положения полюсов.
Действительно, пусть /i (Щ = 2 Вп (Е - е")-1 и f2(E)=E - E(l). Тогда
(4.17) имеет
П
вид fl(E)=fz{E). Это уравнение графически решается на
§11. ЗАВИСИМОСТЬ ФФ ОТ q И Е
147
рис. 1.21. Зонные решения Е определяются в результате пересечения кривых
ji(E) и fi(E); они отмечены точками. Показаны три различных начальных
приближения (это иллюстрация различных потенциалов и различных точек в k-
пространстве, а не
Рис. 1.21. Возникновение эффекта "оттеснения" по (4.17).
"произвола" исследователя). Стрелками показано оттеснение зонных решений
от соответствующего первого приближения Е{1).
Оттеснение зонных решений тем больше, чем больше соответствующий
матричный элемент. Эффект оттеснения приводит к тому, что Ех стремится
расположиться посредине между двумя полюсами, отвечающими энергиям ет и
em+t. Чем ближе Е{1) к одному из значений е",, тем больше оттеснение от
этого значения; такая же ситуация возникает при приближении Е([) к
соседнему значению em+i. Только в том случае, если ?,(1) находится
посредине между соседними значениями е", e"+i, их влияние
уравновешивается (тогда Ew является хорошим приближением для Ех). Если Ew
совпадает с Ес, удовлетворяющей условию fi(Ec) = 0, то оттеснение
отсутствует, и зонное решение совпадает с Ew.
Итак, мы нюнили, что уровни энергии электрона в кристалле "оттесняются"
от уровней пустой решетки.
Если мы рассмотрим последовательный ряд металлов с одинаковой
кристаллической решеткой, но с разными валентностями Z (т. е. с разной
