Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
чо
кьТ
%(?>
43
43
къТ
ехр
Я со
43
квТ
- 1
-1
(8.33)
а фононная составляющая свободной энергии при тех же темпе-
§ 28. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
297
ратурах может быть записана следующим образом:
хл Г ?cl)"
Fph = &БТ ^ In
q з
2Sh
qj
2къТ
(8.34)
В [102] по приведенным выше формулам для Са, Sr п Ва были найдены частоты
фононов (с учетом вклада зонной и электростатической составляющих), а
затем - фононная часть свободной энергии Ffh. Далее была вычислена
внутренняя энергия U= L\ + + Ues + Ubs и термодинамический потенциал
G(p,t) = U + Fph + pQ. (8.35)'
Эти расчеты позволили построить фазовую диаграмму для Sr (рис. 2.24),
которая достаточно хорошо совпадает с эксперимен-
2? О.109/кг
О)
Рис. 2.24. Фазовая диаграмма Sr: а) эксперимент, б) теория.
том (особенно, если учесть время, когда эта работа была выполнена, и то,
что прямая подгонка потенциала в ней почти не проводилась). Физическая
причина перехода из ГЦК в ОЦК фазу при повышении температуры - это
наличие низкочастотной поперечной ветви в фононном спектре ОЦК решетки,
из-за которой при повышении температуры заметно растет фононная часть
энтропии. Качественно верные результаты получены и для Ва. В то же время
расчет для Са не привел к согласию с экспериментом, по-видимому, из-за
особой роли d-зоны.
Роль тепловых колебаний атомов в рассматриваемой теории не исчерпывается
приведенными выше результатами.
Перегруппировка членов между дает:
l^p(q)|*T и \7ПР(Ч)\2
див-
гЛ>
кр
22ие"л|'
Q.i
N'
X е
2 2 I 4eQjaQj |2 X
VV'Qj
-iq,tv-V CQS (Qjj tv - tv,). (8.36)5
298
ГЛ. 8. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
Если сравнить это выражение с формулами теории дифракции излучения на
кристалле с колеблющейся решеткой [14], то легко увидеть, что выражение в
фигурной скобке (8.36) соответствует фактору Дебая - Валлера [14, 103] е-
2М, где
23/ =; 2 2 I qeQ-aQ-12. (8.37)
Q I
Как известно из рентгеноструктурного анализа, этот фактор приводит к
ослаблению рентгеновских максимумов, причина которого состоит в том, что
за счет тепловых колебаний атомов происходит своеобразное "размазывание-)
электронной плотности по периферии атома. Очевидно, что в
псевдопотенциальной теории кристаллов тепловые колебания атомов приводят
к ослаблению формфакторов псевдопотенциалов:
! П7т (q) Р -- S В о (ч) I'2 е~2М- (8.38)
Здесь l'Fr(q)- матричный элемент при конечной температуре,
(ч) - в предположении, что атомы неподвижны. Основы тео-
рии фактора М можно найти, например, в [14, 103]. Здесь остановимся лишь
на следующих моментах.
При достаточно высокой температуре {Т > 0) в дебаевском приближении
%2"2 т
М -- 4.----^-гг, (8.39)
где Мт - масса атома, 0 - дебаевская характеристическая температура,
величина которой обычно находится в пределах от 100 до 600 К. Величина 2М
для типичных металлов и полупроводников и наименьших векторов gn при
комнатных температурах оказывается порядка (4 - 8) • 10"/ Особенно
быстрый рост 2М отмечается с ростом модуля вектора обратной решетки (как
gn) ¦ При повышении температуры величина М растет как за счет роста Т,
так и за счет уменьшения характеристической температуры 0. При низких
температурах формула (8.39) усложняется, но при Т 0 можно получить в
предельном переходе простое выражение
-^-ДттЛв- <8-""
Указанная величина М при самых низких температурах всего в 4 раза меньше
значения М, отвечающего температуре, равной характеристической. Это
означает, что в принципе при проведении любых псевдопотенциальных
расчетов формфактор псевдопотен-циала должен содержать поправку на
дебаевский фактор в виде (8.38). Конечно, эта поправка не всегда может
быть большой, однако ее роль каждый раз следует оценивать.
§ 29. СТАТИЧЕСКИЕ ДЕФЕКТЫ
299
Полученный результат можно считать фундаментальным, поскольку формфакторы
псевдопотенцпалов определяют многие важнейшие характеристики кристаллов,
такие, как особенности зонной структуры, ширины запрещенных зон и их
зависимости от температуры, многие физические свойства. В этой связи
представляет интерес работа [104], авторы которой изучили особенности
зонной структуры ряда ионно-ковалентных соединений, используя расчет
энергетических уровней в точках высокой симметрии, рассчитали производные
ширин энергетических щелей в зависимости от температуры для Si, Ge, GaAs,
InSb, GaSb, построили (p - Г)-дпаграммы для Si, InSb, CdTe, ZnSe, фазовую
диаграмму Ge - Si. Учет температуры осуществлялся умножением формфакторов
псевдопотенциалов иа фактор Дебая - Валлера, учет давления - изменением
параметров решетки.
Анализируя особенности зонной структуры указанных выше полупроводников и
соединений, авторы [104] предложили определять границы устойчивости
полупроводниковых соединений по моменту захлопывания непрямых щелей
реальной зонной структуры. Они показали, что для рассмотренного ряда
соединений оценки с помощью указанного критерия достаточно хорошо
согласуются с экспериментом.
Таким образом, приведенные в этом разделе данные показывают, что эффекты
