Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
2„2
ЯГИ
1 "2
И, + и2
ДЧ12
ИГИ
1 2
И, + И2
ДЧ21
- ї«2 ДЧ22
(7.4.8)
Уравнения (7.4.7) представляют собой систему линейных уравнений в частных производных для амплитуд мод. Когда недиагональные матричные элементы ANn обращаются в нуль, связь между модами исчезает. Это отвечает случаю чисто фазовой модуляции. Будем решать уравнение (7.4.7) для этого случая чисто фазовой модуляции.
7.4.1. ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
В данном случае внешнее электрическое поле не приводит к связи между невозмущенными нормальными модами, поскольку Arj12 = = Arj21 - 0. Это имеет место, когда
r[2yEy = 0. (7.4.9)
При этих условиях уравнения для модовых амплитуд A1 и A2 становятся несвязанными и могут быть решены по отдельности: Пусть модулирующее поле имеет вид бегущей волны Ew sin (о)„/ — — кт?). В соответствии с (7.1.2) возмущение тензора непроницаемости имеет вид
дЧаа = Cy?mysin(wmf -kj), а = 1,2,
(7.4.10)
где E1
ту
7-составляющая поля E . Уравнение для модовых ам-
плитуд можно записать в виде
(Ir + С І) aU' ') - iPsinK' - kJ) А(!> 0,
(7.4.11)Электрооптические устройства 267
где
Wl3 ,
? = ~2Ї-г;ауЕтг, а = 1 or 2, (7.4.12)
в качестве п можно выбрать л, или п2, а в качестве А—A1 или A2.
Уравнение (7.4.11) представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных и может быть проинтегриро вано, если ввести новые переменные
C-S-1*. п
(7.4.13)
С помощью замены д du д dv д
du + dv du + dv '
d_ _ du _д_ . dv д с ( д ~dt~~dt~du
dv _д_ _ с і _д_ д dt dv п \ du dv
уравнение (7.4.11) принимает вид
2—А = i? sin du
^(u-v)-k-f{u + v)
А.
(7.4.14)
Рассматривая и и v как независимые переменные, после интегрирования уравнения (7.4.14) получаем
А({, 0 = С(? - ^rjexp
-і-
?c
,(«- О
cos {wmt - к J)
(7.4.15)
где С — произвольная функция, а пт = скт/шт. Граничное условие на входной грани (f = 0) кристалла записывается в виде
A(0,t) = A0, (7-4.16)
где A0 — произвольная постоянная. Из этого условия следует, что функция С имеет вид
?c
с(? - c-t)=^exp[^(;:Hjcos(.m, - f
(7.4.17)
При этом, согласно (7.4.15) и (7.4.17), модовую амплитуду A (f, t) можно записать в виде
?c
А{$, t) = Л0ехр /
X
- О
cos(^-^«?)-cos(^-^«m?)]}. (7.4.18)і 268
Глава 5
С учетом тригонометрического тождества cosa - cos/? = -2sin5(a + ?)sm$(a - ?)
для модовой амплитуды на выходной грани (f = L) кристалла получаем
A(L, t) = >(0exp[/fisin(wm/ - ф)], (7.4.19)
где
sin %(nm-n)L
S = ?L-, (7.4.20)
-fc(nm~n)L
4> = %(n + nm)L. (7.4.21)
Если за плоскостью f = L возмущение отсутствует, то электрическое смещение выходящего пучка можно записать в виде
?>(?, t) = Л0ехр{/[ы* + fisin(wmr - ф) - jfcf]}. (7.4.22)
Выражение (7.4.22) описывает модулированную по фазе волну с индексом модуляции 8. В этом случае величина 8, определяемая выражением (7.4.20), уже не пропорциональна длине кристалла L и ее максимальное значение ?L меньше на множитель
sin A L A L '
где
*¦-?(..-
а U0 и Vm — фазовые скорости света и модулирующей волны соответственно. С физической точки зрения возникновение этого ограничивающего множителя обусловлено рассогласованием фазовых скоростей этих волн. В случае когда свет и модулирующая волна распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями, на световую волну при ее распространении через электрооптический кристалл будет действовать постоянное модулирующее поле. При этом ограничивающий множитель оказывается равным единице, т. е. уменьшение индекса модуляции 8 отсутствует. Таким образом,Электрооптические устройства
269
РИС. 7.7. Зависимость индекса модуляции S от длины кристалла L.
индекс модуляции оказывается прямо пропорциональным длине кристалла. В случае когда фазовые скорости не равны друг другу, величина 8 становится периодической функцией длины кристалла L. Зависимость 8 от L приведена на рис. 7.7. Величина 8 достигает своего максимального значения при
^(nm-n)L = §, (7.4.24)
а максимальное значение индекса модуляции Sniax дается выражением
= (7А25)
Пример: фазовый модулятор на кристалле LiNbO3. Рассмотрим кристалл LiNbO3 в виде прямоугольного стержня (рис. 7.8), входная и выходная грани которого параллельны плоскости главных осей xz. На кристалл действует высокочастотное поле волны с вектором Е, параллельным оси г. Пусть высокочастотная волна и оптический пучок распространяются в направлении у. Поляризатор, расположенный перед входной гранью кристалла, обеспечивает поляризацию света вдоль оси г кристалла. В соответствии с (7.2.9),270
Глава 7
(7.4.12) и (7.4.20) индекс модуляции 5 можно записать в виде
sin ~~(пт - п )L ы3 2 с
2с %{nm-ne)L
где пе — необыкновенный показатель преломления кристалла, L — длина кристалла, а г33 — соответствующий электрооптический коэффициент. Пусть ш,„/27г = 6 ГГц, пт - 0 и пе = 2,2. Тогда из (7.4.24) следует, что максимальная модуляция имеет место при L = 6,8 см. Кристалл LiNbO3 имеет точечную группу симметрии Згп. Из табл. 7.2 мы видим, что электрооптический коэффициент, отвечающий структуре на рис. 7.8, равен г33.