Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
AAA A A
X ехр(/ u> vtb*vbv) ft^exp(- i u>vtb*vbv) =
= exp(/ u> vtb*vbv)b*vc\p(- i u>vtb*vbv). (2.147)
Итак, нужно вычислить
Я* (a) = exp(a b*vbv)bt exp(-a b*„bv). (2.148)
A
Дифференцируя B*v (a) no a, найдем
A A A AAA AA
dB (a) Id a = exp (a b*vbv) b*vbvb*v exp (- a b*a bv) -
A A AAA AA A A AAA AA
- exp (a b*vbv)b*vb*„bvexp (- a b*vbv) = exp( a bt bv) b*v ].exp (- a bt bv) =
= exp (a b\bv) {S y[S„, b *„)_ + [b*„, b*v ] S„)exp(- a b*vbv) =B*V (a), (2.149)
где мы воспользовались тождеством
[АВ, С). = А[В, С]_ + [А. С \В, (2.150)
которое доказывается прямым расписыванием правой и левой частей, и соотношениями (2.143). Уравнение (2.149) можно проинтегрировать с начальным условием
А /,
Bv*(0) = bi; тогда в силу (2.148) имеем
B*v(a) = b*vcxpa. (2.151)
96
Возможность переноса на операторы обычных методов решения уравнений для функций, вообще говоря, нетривиальна. В данном случае это можно доказать так:
л А
1 d'B'
л Л *v
B'v(a) =В%( 0) + а-----------
d а
„2 da% а=0
+ . . . =
а=0
1 ,
=в *„ (0) (1 + а + — а2 + . . . ) = Ь а ехр а,
2
где мы воспользовались разложением в ряд Тейлора функции от оператора.
Сравнивая (2.148) и (2.146) и учитывая (2.151), найдем
Ь\, (Г) = ехрО' ы vt)b(2.152) Аналогично можно найти
bv (Г) = ехр(- 1ы vt)bv. (2.153)
Подставляя (2.152), (2.153) в (2.145), находим
Uj (Г) =i 2 (hl2Nmu> v)'/2 evexp(iqRj)[bqscxp(-iu>vt) -
V
~ b*-q, sexp(i ы „Г)] . (2.154)
Отметим также, что для любого оператора А имеем An(t) = exp(i Jf t/h)Anexp(- i Jfr/h) =
= exp (i К t/h)Aexp (- i .Jf t/h )exp (i Jf t/h) A exp (- i Jf t/h )exp(i Jf t/h ) ...
. . ./4exp(-i Jf t/h) = {A(t)\n и, следовательно, для любой функции / (А ), задаваемой рядом Тейлора,
ехр (| Jf t/h )f {А) ехр (- i Jf t/h ) =/(exp(i Jf t/h )/4exp (- iJfl/h)). (2.155)
Итак, теперь мы знаем, что такое na(t). Перейдем к вопросу о вычислении средних
А “А
значений произведения оператора b*, Ь по формуле (2.137), где р определяется согласно (2.136), a Jf - согласно (2.144). Из (2.136), (2.148) и (2.151) следует:
А А А
р~'b*v р = В* UShb> v) = b*„exp(p hej „),
т.е.
b*„ p = exp(p hej v)p b*„. (2.156)
Аналогично получаем
A A
bvp = exp (-p hej v)p b„. (2.157)
Тогда имеем
spuv*;].p)=sp(bvbtp) - sp(b?bvp) =
A A A A
_ Sp(byp 6y)cxpf 0 hu„) — Sp(bybvp) —
= Sp(i??„ p)exp(p hui„) - Sp(bjbvp) =
= Sp(^i„p)[exp(0 hu„) - 1], (2.158)
где мы воспользовались, как и при выводе (2.135), возможностью делать цикли-
л л
ческую перестановку операторов под знаком шпура. Но _ = 1, Spp = 1,
А А А А
Sp(b*vbvp) - (bybj, поэтому из (2.158) находим
<.b*vbv) =[exp(0hcj„) - l]"1. (2.159)
Итак, мы вывели формулу (2.55) для среднего от числа заполнения в статистике Бозе-Эйнштейна. Воспользуемся подобным приемом, чтобы вычислить среднее от
7.Зак.768 97
произвольного числа фононных операторов Ах, А2, . . . , Ап (каждый оператор Л/ либо bJ, либо Ьи)х. Тогда» согласно (2.143), [Л,. Aj 1. есть с-число (г.е. коммутирует с любыми операторами ЪЬи). Поэтому
[A i, А гА 3 . . . Ап\ ~ A t А 2. . . А п А 2А j > . . AftA 1 -
- [A t, A j ] _^4 з. . .Ап^~А2А1А3. . . А ^ — А 2 А 3. . . А п А ^ — (.4 Аг\А±...А
+ 1А i, А 3 \ А 2А t. . . Ап + А2АЭА1. . . Ап — А2А3 . . Ап А : -
п
= ? lAi,Ai\.A2...Ai_lAi + l...An. (2.160)
/= 2
Усредняем правую и левую части (2.160):
Sp((/1,, А, . . . Ап \ _р ) = SpM ,/1, . . . А„ р) - Spl/1,/1 j . . . Л„ Л ,р ) =
= Sp(/4 , Л, . . .Апр) ехр и (3 h ш, )Sp(/1 ,Л , . . . А„ р) =
= [1 — ехр(* (3 h и;, )] (/1 ,/12 ...Ап>, (2.161)
где знаки плюс или минус стоят в зависимости от того, является ли А . оператором
А А
