Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Она детально изложена в работах Kohn W. - Phys. Rev., 1959, v. 115, p. 1460; Blo-
unt E.I. - Phys. Rev., 1962, v. 126, p. 1636.
255
магнитным полями заключается в том, что первое увеличивает кинетическую энергию электрона, а второе никакой работы над электроном не совершает и не изменяет его энергию. Поэтому в твердых телах невозможно создать очень сильное электрическое поле вследствие разогрева и разрушения образца, в то время как аналогичных ограничений для магнитного поля не существует.
Задача о строгом определении собственных функций и состояний гамильтониана (4308) с периодическим потенциалом V (г) крайне сложна. Она, однако, резко упрощается в случае достаточно слабых полей. Изменение энергии электрона в магнитном поле должно быть мало по сравнению с некоторой комбинацией зонных энергий. Точный критерий будет получен ниже; в большинстве случаев, впрочем, реальные магнитные поля в металлах могут считаться слабыми.
Как мы видели в § 4.3, в слабом электрическом поле вероятность межзонных переходов экспоненциально мала. Из самого вывода этого результата видно, что он не связан именно с электрическим полем, а справедлив для любого достаточно плавного и слабого возмущения. Поэтому вначале рассмотрим однозонное приближение, а затем оценим вероятность межзонных переходов (’’магнитного пробоя”) и тем самым оправдаем сделанное допущение. Итак, будем искать решение уравнения Шредингера 1 с гамильтонианом (4.308) в виде разложения по функциям Ваннье (4.290) одной зоны (согласно (4.281), они ортонормированы и представляют собой такой же хороший базис разложения, как и блоховские функции) :
\pt (г) = I (г). (4.312)
т
Функции Ваннье можно представить в виде
Vmi (r)=N~in 2 i/'f (к, г) ехр (~ikRm) = к
= 7V1/2 2 (k,r—Rm) = ехр (— - pR^Vos (г), (4.313)
* ' n /
где р = —i hV, ехр (-ipaj h) = exp (flV) - оператор трансляции на вектор а :
ехр (<iV)/(r) = 2 — (flV)"/(r)=/(r + fl), (4.314)
п=о п!
где использовано разложение в ряд Тейлора.
В гамильтониан (4.308) входит оператор
П = р - - А =р- — \Нг\ (4.315)
с 2с
вместо р. Попробуем поэтому в качестве базиса разложения выбрать не функции ехр (ipRmm ^of (г), а другие функции ехр (/ПЛт/Ь)^0г (г), что дает
1Pt(r)= 2 ат ехр (/Wim/h) ^0f (г). (4.316)
1 Здесь мы следуем, в основном, основополагающей работе Peierls R. Zs. Phys., 1933, Bd. 80. s. 763.
256
Подставляя (4.316) в (1.60), умножая его на ~Ро f (г) ехр ( /П/f,,/h) и интегрируя по элементарной ячейке, получим
X(Hmn-ESmn)am= 0, (4.317)
где
нтп = Jdrfot (Г) ехр (-/Шг„/Ь) Jf ехр (/ПЛт/Ь) <pot (г), Smn =fdrvmoi (г) ехр (- /П R„/h) ехр (/n/?m/h)^0f (г).
(4.318)
(4.319)
Коммутатор операторов ПЛ„, ПЛт есть с-число. Следовательно, можно использовать тождество (2.166)
ехр (-/ПЛп/h) ехр (iIIRm/h) =
ехр [-/П (Л„ -Rm)/h] ехр [- [П', П>] X (R‘n R'm)/2h2 ],
(4.320)
где i,j=x, у, z по повторяющимся векторным индексам здесь и далее подразумевается суммирование. Вычислим входящий в (4.320) коммутатор:
[fiw, П<Л]- =
Pi ?ilk Hlrk 1 Pj - €ipqHprq
2с 2 с
Здесь ejjk — абсолютно антисимметричный тензор Леви — Чивита. Воспользуемся каноническим соотношением коммутации
[Р/Л]- = -'Ь6;*;
находим
[П^, П^]_ = lehc-1 e//f ,
ехр (-/ n/?„/h)exp (iTlRm/h) =
= ехр [-/П(Л„ Rm)/h] ехр [ie[R„Rm]H/2h с]. Аналогично имеем
ехр (jJU{m/h) = ехр [ipRm/h - ie/2hc [.RmH] г] =
(4.321)
(4.322)
(4.323)
= exp [- ie [.RmH] r/2hc] exp (ipRmlh), (4.324)
так как Rm [RmH] = 0. Из (4.324) следует, что
[exp (/ПЛт/h), Jf]_ = 0. (4.325)
A -
В самом деле, первый член в гамильтониане, П /2т, очевидно, коммутирует с экспонентой, а
ехр (/TU?m/h) V(r) = ехр [-ie [RmH] r/2hc] X X exp (ipRm/h) V(r) = exp [- ie [RmH] r/2hc] X
X V(r + Rm) exp (ipRm/h) = V(г) exp (/'Ш{т/h) 17. Зак.768
257
в силу условия V (г + Rm) = V (г).
Подставляя (4.324), (4.325) в (4.318), найдем
Нт„ = ехр[—ie [ЛтЛп] H/2hc] X
X / d*fils (г) ехр [-/П (R„ - Rm)lh]Xvoi(rl (4.326)
В (4.326) существенны только небольшие г (из-за быстрого убывания функции f (г)), поэтому можно пренебречь вторым членом в ft из (4.315) ; он порядка eHd/c, где d — период решетки, в то время как первый член, действуя на функцию \р, дает величину порядка h/d. Таким образом, мы требуем выполнения неравенства 1
1н = (сЫ\е\Я)1'2 >d, (4.327)
1И называется магнитной длиной ’, при #~104 Э, 1Н ~10“5 -г 10“6 см. Полагая в интеграле (4.326) П р, получаем
