Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
249
рошены остовные состояния, подобно тому как это делалось в методе ОПВ). Выбрасывание большого числа связанных состояний соответствует резкому уменьшению глубины потенциальной ямы на каждом узле. Можно ожидать, что возникший при этом эффективный потенциал (псевдопотенциал) уже будет настолько слаб, чтобы можно было его учитывать по теории возмущений. Именно возможность построения псевдопотенциала и объясняет удивительный успех приближения свободных и почти свободных электронов при описании электронов проводимости в металлах, о чем уже упоминалось в п. 4.2.5. Псевдопотенциал определен неоднозначно и может быть введен многими способами.
Укажем один из возможных способов построения псевдопотенциала. Пусть уравнение Шредингера имеет спектр ?ь Е2,... и соответствующие собственные функции ф1г ф2„ ¦ ¦ Нас интересуют уровни энергии, начиная с(п + 1) -го. Ищем ф для т > п + 1
ибо (фт, Ф„,’) = 0 для т Ф т < п. Подставляя (4.286) в (4.119),получим
w и есть псевдопотенциал. Ясно, что функции Ф^ + i, Фп + г? ¦ ¦ ¦ и соответствующие собственные значения Еп + ь Еп + г, ¦ ¦ ¦ могут быть получены из
(4.288), ибо для ф,„ (т > п) второй член в (4.286), (4.289) равен нулю тождественно. Собственные значения ?ь Е2,.. . , Еп мы исключим. Псевдогамильтониан (4.289) нелокален и к тому же зависит от энергии. Последнее
Л
несущественно, ибо к ?Сэф можно добавить произвольный член вида
где fm - любые функции координат и энергии. Это следует из того, что
Л
оператор Ж' имеет нулевые матричные элементы между любыми двумя функциями фт, фт' (т, т' > п), а следовательно, не влияет на энергетический спектр.
Нелокальность псевдопотенциала приводит к тому, что его матричные элементы между плоскими волнами (Л | w \ к') зависят не только от разности к — к', но и от каждого к, к'. Это обстоятельство следует иметь в виду при расчете с псевдопотенциалом по теории возмущений. Реально псевдопотенциал строится либо как-то аналитически, либо выбирают модель с несколькими подгоночными параметрами, определяемыми из одних экспериментов и используемыми затем для интерпретации большого числа других. 250
ф = $ - ? Ф„, (фт, $),
П
V
(4.286)
т = 1
где (фт, у) — скалярное произведение. При этом (ф, ф,п) = 0, /и = 1,2,...,и.
(4.287)
К у - 2 (К Фт)(Фт,ф) = Е ? ^фт(ф,„,ф)
т = 1 ш = I
ИЛИ
(4.288)
где
Д + w, (4.289)
&’= Z Фт (/„„¦¦¦),
(4.290)
т = 1
Мы выяснили, почему электроны проводимости в металлах можно в хорошем приближении рассматривать как свободные. Приведем принадлежащий У. Харрисону (1960) метод построения ферми-поверхностей в приближении свободных электронов, дающий, несмотря на свою простоту, хорошее согласие с опытом. Более подробно см. цитированную в 4.5.1 монографию Харрисона, а также 4.2.5.
В модели свободных электронов поверхность Ферми — это сфера радиуса А'ф, величина которого определяется электронной плотностью и по формуле (3.33). Если плотность такова, что диаметр 2кф больше чем минимальный ’’диаметр” первой зоны Бриллюэна (например, 2тг/д на рис. 4.12), то сфера Ферми будет попадать частично и во вторую зону, а с дальнейшем ростом плотности в третью и т.д. Если потом перейти от схемы распространенных зон (рис. 4.12) к схеме приведенных, то получим картину многосвязных ферми-поверхностей, как это было уже показано на рис. 4.23 а, б, в. Опытное определение ферми-поверхностей (с помощью эффекта де Гааза — ван Альфена и т.п.) во многих случаях дает хорошее подтверждение теоретическому предсказанию их формы по методу Харрисона.
4.5.5. Метод присоединенных плоских волн
В 1937 году Слэтер предложил очень плодотворный подход к расчету спектра энергий кристаллов, основанный на следующей идее. А центре ячейки Вигнера — Зейтца потенциал V (г) в основном имеет атомный характер; вблизи границ ячейки он примерно постоянен (рис. 4.32). Примем для него такую аппроксимацию:
\У(\г\), М<Го,
I к?т, <4-Ю1)
где г0 — радиус некоторой сферы, вписанной в ячейку Вигнера — Зейтца. Такое приближение называется МТ - приближением (от английского muffin - tin potential, что буквально означает ’’потенциал в виде формочки для приготовления сдобы”), а сфера — МТ-сферой, или сферой Слэтера. В выборе его, разумеется, есть некоторый произвол, однако предполагается, что он не очень сильно сказывается на результатах.
Начало отсчета энергии выбирается так, что К0МТ = 0. Внутри МТ-сферы волновые функции можно, в силу сферической симметрии потенциала, искать в виде разложения по шаровым гармоникам Ylm (в, <р)\
Х(г)= 2 alm R,(r, Е) Ylm (в, ф),
lm
где В — полярные углы вектора г, a Rt (г, Е) удовлетворяет уравнению
Э2 2
— +— -/(/ + 1)/г2 . д г г
R,(r, Е) +
+ (2w/h2) (Е - V (г)) R, (г, Е)= 0, г<г0, (4.293)
